Hausaufgaben Übung AnalysisII

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid

Sommersemester 2010

Analysis II

Übung 

Aufgabe 

Berechnen Sie folgende Integrale:

(a) ∫



 xe^−xdx (b) ∫

π/



cosx

√−sinxdx

Lösung. (a) Substitution mitu∶=−x^ergibt

∫_^xe^−xdx= ∫_ ^−

e^udu= −

e^u∣^ = −

+ 

e. (b) Substitution mitu∶=−sinxergibt

∫_^π/ cosx

√−sinxdx= ∫_ ^ −

√udu= −√

u∣^ =+√

=. Aufgabe 

Berechnen Sie folgende Integrale:

(a) ∫

π/

 xsinxdx (b) ∫

π/

 x^cosxdx (c) ∫_^x^e^xdx Lösung.

(a) ∫

π/

 xsinxdx= −xcosx∣^π^/+ ∫_^π/cosxdx

=−+sinx∣^π/=−, (b) ∫_^π/x^cosxdx=x^sinx∣^π^/− ∫_^π/xsinxdx

= π^

 −−⋅,

(c) ∫_^x^e^xdx=x^e^x∣^−∫_^x^e^xdx

=e−−x^e^x∣^+∫_^xe^xdx

=e−e−+xe^x∣^−∫_^e^xdx

=−e+e−−e^x∣^=−e+.

Hausaufgaben

Aufgabe 

Seienm,n∈N. Zeigen Sie mit Hilfe partieller Integration, daß

∫_^πsin(nx)sin(mx)dx=⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

π fürn=m,

 fürn≠m. Aufgabe 

Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral

∫_a^∞f(x)dx

genau dann existiert, wenn es zu jedemε> eine Stellez>agibt, so dass (∗) ∣∫_s ^t f(x)dx∣ <ε für allez<s<t.