TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Dr. M. Prähofer Statsexamensvorbereitung Analysis MA9960
http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9960_2017W
Wintersemester 2017/18 Blatt 2 (18.10.2017)
Aufgaben
1. [2017H1A1] Grundlagen
(a) Ist die MengeA:={z∈C:|z|+ Re(z)≤1}abgeschlossen inC. IstA kompakt?
(b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
∞
P
n=0 n−1
n
5n2
zn.
(c) Sei Ω⊆R2 offen und u, v: Ω→ Rstetig differenzierbar, so dass die Cauchy-Riemann- Differentialgleichungen wie üblich erfüllt sind. Entscheiden Sie, ob auch g, h : Ω → R mit g(x, y) = eu(x,y)cos(v(x, y)) und h(x, y) = eu(x,y)sin(v(x, y)) die Cauchy-Riemann- Differentialgleichungen erfüllen.
2. [2014H2A1] Verschiedene Fragen
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, bzw., falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.
(a) Istf : [0,1]→Rstetig differenzierbar mitf(0) = 0undf(1) = 1, so gibt es eint∈(0,1) mit f0(t) = 1.
(b) IstA⊆R2 abgeschlossen undf :A→R stetig, so istf beschränkt.
(c) Ist f : R→ R stetig differenzierbar aber nicht konstant und ist U ⊆ R offen, dann ist auch f(U) offen.
(d) Ist f :C → C komplex differenzierbar aber nicht konstant und U ⊆C offen, dann ist auch f(U) offen.
(e) Es gibt eine bijektive holomorphe Funktion f :C→E.
(f) Es gibt eine holomorphe Funktion f :C\ {0} →Cmit f0(z) = 1z für alle z∈C\ {0}.
3. [2017H2A1] Dezimalbruchdarstellung einer rationalen Zahl
Seiena, b∈N0mita < b. Die Folgen(rn)n∈N0 und(dn)n∈Nsind rekursiv definiert durchr0 =a und für beliebigesn∈Ndurch die Eigenschaft dn+1= floor(10rbn) undrn+1 = 10rn−bdn+1. Hierbei entspricht floor : R → Z, floor(x) = max{k ∈ Z|k ≤ x} dem Abrunden auf die nächste ganze Zahl. Zeigen Sie:
(a) Für allen∈N0giltrn∈N0,rn< b,dn+1∈D:={0,1,2, . . . ,9}und ab =
n
P
k=1 dk
10k+10rnnb. (b) lim
n→∞
1
10n = 0, indem Sie explizit die Definition der Konvergenz reeller Folgen nachprüfen.
(c)
∞
P
k=1 dn
10n = ab.
4. [2017H3A4] Zeitabhängiges ebenes lineares System Sei f : [0,∞) → [0,∞) stetig mit R∞
0 f(t)dt = ∞ und sei x : [0,∞) → R eine Lösung der Differentialgleichung x¨+f(t)x = 0 mit x(0) = 1. Man zeige: x besitzt unendlich viele Nullstellen, die keinen Häufungspunkt haben, in jeder Nullstelle ist die Ableitung ungleich Null und zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist x entweder positiv und konkav oder negativ und konvex.
Hausaufgabenabgabe: Mittwoch, 25.10.2017, zu Beginn der Übungen