x 3 + ax + b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K , char( K ) > 3. Zeige:

(1)

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2015

Kryptographie

Blatt 5, 20.05.2015, Abgabe 27.05.2015

Aufgabe 1.

x ³ + ax + b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K , char( K ) > 3. Zeige:

1. 4a ³ + 27b ² = 0, und die doppelte Nullstelle ist p

− ^a ₃ . 2. Die übliche Punkte-Addition ist für P _a = ( p

− ^a ₃ , 0) nicht erklärt.

3. E _a,b ( K ) − {P _a } ist abgeschlossen gegen die übliche Punkte-Addition.

Aufgabe 2. Seien X 1 , . . . , X i , . . . unabh. Zufallsvariable über {0, 1} mit Pr _D [X _i = 1] = ε. Zeige für u := min{i | X _i = 1} und kε ⁻¹ ∈ N :

1. 0 < Ws[u ≤ kε ⁻¹ ] = 1 − (1 − ε) ^kε

⁻¹

= 1 − e ^−k + O(ke ^−k ε).

2. 0 < e ^−k − Ws[u > ε ⁻¹ k] = O(ke ^−k ε).

Benutze dass 0 < e ^±1 − (1 ± _n ¹ ) ⁿ = O( ¹ _n ).

Aufgabe 3. Ändere den Extraktionsalgorithmus AL( ˜ P , h) zu (P, V ) _DL wie folgt ab: In Stufe 2 mache k · u neue Proben zum Auffinden einer zweiten 1 in der durch Stufe 1 fixierten Zeile.

Wie hängt die erwartete Laufzeit E _w

_AL

|AL| von k ab? Für welches k wird sie minimal?

Punktzahl pro Aufgabe 5

x 3 + ax + b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K , char( K ) > 3. Zeige:

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2015

Kryptographie

Blatt 5, 20.05.2015, Abgabe 27.05.2015

Aufgabe 1.

x 3 + ax + b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K , char( K ) > 3. Zeige:

1. 4a 3 + 27b 2 = 0, und die doppelte Nullstelle ist p

− a 3 . 2. Die übliche Punkte-Addition ist für P a = ( p

− a 3 , 0) nicht erklärt.

3. E a,b ( K ) − {P a } ist abgeschlossen gegen die übliche Punkte-Addition.

Aufgabe 2. Seien X 1 , . . . , X i , . . . unabh. Zufallsvariable über {0, 1} mit Pr D [X i = 1] = ε. Zeige für u := min{i | X i = 1} und kε −1 ∈ N :

1. 0 < Ws[u ≤ kε −1 ] = 1 − (1 − ε) kε

= 1 − e −k + O(ke −k ε).

2. 0 < e −k − Ws[u > ε −1 k] = O(ke −k ε).

Benutze dass 0 < e ±1 − (1 ± n 1 ) n = O( 1 n ).

Aufgabe 3. Ändere den Extraktionsalgorithmus AL( ˜ P , h) zu (P, V ) DL wie folgt ab: In Stufe 2 mache k · u neue Proben zum Auffinden einer zweiten 1 in der durch Stufe 1 fixierten Zeile.

Wie hängt die erwartete Laufzeit E w

|AL| von k ab? Für welches k wird sie minimal?

Punktzahl pro Aufgabe 5

x ³ + ax + b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K , char( K ) > 3. Zeige:

1. 4a ³ + 27b ² = 0, und die doppelte Nullstelle ist p

− ^a ₃ . 2. Die übliche Punkte-Addition ist für P _a = ( p

− ^a ₃ , 0) nicht erklärt.

3. E _a,b ( K ) − {P _a } ist abgeschlossen gegen die übliche Punkte-Addition.

Aufgabe 2. Seien X 1 , . . . , X i , . . . unabh. Zufallsvariable über {0, 1} mit Pr _D [X _i = 1] = ε. Zeige für u := min{i | X _i = 1} und kε ⁻¹ ∈ N :

1. 0 < Ws[u ≤ kε ⁻¹ ] = 1 − (1 − ε) ^kε

= 1 − e ^−k + O(ke ^−k ε).

2. 0 < e ^−k − Ws[u > ε ⁻¹ k] = O(ke ^−k ε).

Benutze dass 0 < e ^±1 − (1 ± _n ¹ ) ⁿ = O( ¹ _n ).

Aufgabe 3. Ändere den Extraktionsalgorithmus AL( ˜ P , h) zu (P, V ) _DL wie folgt ab: In Stufe 2 mache k · u neue Proben zum Auffinden einer zweiten 1 in der durch Stufe 1 fixierten Zeile.

Wie hängt die erwartete Laufzeit E _w