x 3 + ax + b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K, char ( K ) > 3 . Zeige:

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2012

Kryptographie

Blatt 6, 23.05.2012, Abgabe 01.06.2012 Aufgabe 1.

x ³ + ax + b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K, char ( K ) > 3 . Zeige:

1. 4a ³ + 27b ² = 0 , und die doppelte Nullstelle ist p

− ^a ₃ . 2. Die übliche Punkte-Addition ist für P _a = ( p

− ^a ₃ , 0) nicht erklärt.

3. E a,b ( K ) − {P a } ist abgeschlossen gegen die übliche Punkte-Addition.

Aufgabe 2. Seien X 1 , . . . , X i , . . . unabh. Zufallsvariable über {0, 1} mit Pr _D [X _i = 1] = ε . Zeige für u := min{i | X _i = 1} und kε ⁻¹ ∈ N:

1. 0 < Ws[u ≤ kε ⁻¹ ] = 1 − (1 − ε) ^kε

= 1 − e ^−k + O(ke ^−k ε) . 2. 0 < e ⁻

− Ws[u > ε ⁻¹ /k] = O(e ⁻

ε) .

Benutze dass 0 < e ^±1 − (1 ± _n ¹ ) ⁿ = O( ¹ _n ) .

Aufgabe 3. Ändere den Extraktionsalgorithmus AL( ˜ P , h) wie folgt ab:

In Stufe 2 mache k · u neue Proben zum Aunden einer zweiten 1 in der durch Stufe 1 xierten Zeile.

Wie hängt die erwartete Laufzeit E _w

|AL| von k ab? Für welches k wird sie minimal?

Aufgabe 4. Eine Zeile der Erfolgsmatrix zum Extraktor AL von Satz 2 heiÿe k -schwer, wenn sie mindestens 2 ^t ε/k viele Einsen enthält. Zeige:

1. Der Anteil A _k der Einsen in k -schweren Zeilen ist ≥ 1 − 1/k . 2. A ₁ kann beliebig klein sein.

5 Punkte pro Aufgabe.