Monotone Konvergenz
Eine Folge (a n ) heißt monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn a n+1 ≥ a n bzw. a n+1 ≤ a n f¨ ur alle n. Sie heißt streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend, wenn die entsprechende Ungleichung strikt ist (> bzw. < statt ≥ bzw. ≤).
Eine beschr¨ ankte, f¨ ur n >
n 0 monoton wachsende oder fallende Folge (a n ) ist konvergent. Der Grenz- wert ist das Supremum bzw. Infimum der Folgen- elemente a n , n > n 0 .
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Beweis
Definition des Supremums als kleinste obere Schranke = ⇒
∀ε > 0 ∃ n ε : a − ε < a nε ≤ a = sup
n>n
0a n
Monotonie = ⇒
a − ε < a nε ≤ a n ≤ a f¨ ur n > n ε , also |a n − a| < ε f¨ ur n > n ε , d.h. a n → a
analoge Argumentation f¨ ur monoton fallende Folgen
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Beispiel
Eulersche Zahl
e = lim
n→∞ (1 + 1/n) n
| {z }
a
n= 2.7182
monotone Konvergenz Existenz des Grenzwertes (i) Beschr¨ anktheit:
binomische Formel
a n = (1 + 1/n) n = 1 + n
1 1
n + n
2 1
n 2 + · · · n
k
= n(n − 1) · · · (n − k + 1)
1 · 2 · · · k ≤ n k 1 · 2 · · · 2
= ⇒ a n ≤ 1 + 1 + 1 2 + 1 4 + · · · ≤ 3
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(ii) Monotonie:
binomische Formel
a n+1 = 1 +
n + 1 1
1 n + 1 +
n + 1 2
1
(n + 1) 2 + · · · gr¨ oßere Terme als in der Darstellung von a n :
n k
1
n k = n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1 · 2 · · · k
1 n k ≤ (n + 1) · n · · · (n − k + 2)
1 · 2 · · · k
1 (n + 1) k =
n + 1 k
1 (n + 1) k ,
denn n − j
n ≤ n + 1 − j
n + 1 , j = 0, . . . , k − 1
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