Konvergenz von Vektoren
Eine Folge von Vektoren xk ∈Rn konvergiert gegen einen Vektorx∗,
k→∞lim xk =x∗ bzw. xk →x∗f¨urk→ ∞,
wenn f¨ur alle ε >0 ein Index kε existiert mit
|xk −x∗|< ε f¨urk >kε. Mit anderen Worten enth¨alt jede ε-Umgebung
Bε(x∗) ={y : |y−x∗|< ε}
alle bis auf endlich viele Folgenelemente.
Aquivalent zur Konvergenz von (x¨ k) ist die Konvergenz aller Komponenten der Folge, d.h. es k¨onnen eindimensionale Konvergenzkriterien
herangezogen werden.
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Beispiel
alternierende Projektion auf zwei Geraden
Konvergenz der Folge (xk,yk)t gegen den Schnittpunkt (x∗,y∗)t Illustration f¨ur die abgebildeten Geraden
xk
yk
:
0
0
,
0
1
,
1/2
1/2
,
1/2
1
,
3/4
3/4
, . . .→
1
1
Konvergenz der ersten Komponente:
x2k =x2k+1= 1−(1/2)k →1,
denn
1−1 + (1/2)k
= (1/2)k < ε f¨urk >kε=−ldε
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