3.2 Konvergenz und Grenzwerte

3.2 Konvergenz und Grenzwerte

3.2.1 Folgen

Grenzwert einer Folge a= lim_n→∞an ⇔

∀ε >0∃nε∀n > nε : |an−a|< ε

Rechenregeln f¨ur Grenzwerte bei Folgen

a_n →a und b_n →b =⇒

• lim

n→∞(a_n±b_n) =a±b

• lim

n→∞(anbn) =ab

• lim

n→∞(an/bn) = a/b, fallsb6= 0 Cauchy-Kriterium

Konvergenz von (an) ⇔

∀ε >0∃nε∀j, k > nε: |aj −ak|< ε

Monotone Konvergenz einer Folge

an ≤an+1 ≤ · · · ≤c =⇒ Konvergenz gegen Grenzwert a≤c

analog: Konvergenz monoton fallender, nach unten beschr¨ankter Folgen

Uneigentliche Grenzwerte lim_n→∞an=∞ ⇔

∀a >0∃na∀n > na: an > a analog: an→ −∞

Limes Inferior und Limes Superior

lim

n→∞

an = lim

n→∞an, an = inf

k≥nak n→∞lim an = lim

n→∞an, an = sup

k≥n

ak

lim

n→∞an=a= lim

n→∞an =⇒ Konvergenz von (an) gegen a

52

Vergleichskriterium f¨ur Folgen

liman=a, limcn=cund an≤bn ≤cn f¨urn > n0 =⇒

a≤limb_n≤limb_n≤c a=c =⇒ Konvergenz von (bn)

H¨aufungspunkt einer Folge

Grenzwert a einer konvergenten Teilfolge von (an)

⇔ jedes Intervall (a−ε, a+ε), ε >0, enth¨alt unendlich viele Folgenelemente Rekursive Approximation von Pi

an, bn: halbe Umf¨ange der um- bzw. einbeschriebenen (6·2ⁿ)-Ecke eines Einheitskreises rekursiv definierte, gegen π = 3.1415926535897932. . . konvergene Folgen

an+1 = 2anbn

an +bn

, bn+1 =p

an+1bn, a0 = 2√

3, b0 = 3

Spezielle Grenzwerte von Folgen

an a= lim

n→∞an

√n

n 1

n^αqⁿ, |q|<1 0 n^−αlnn , α >0 0

qⁿ/n! 0

n!/nⁿ 0

(1 + 1/n)ⁿ e

(1−1/n)ⁿ 1/e

53