PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 7¨
Abgabe bis Fr, 3.6., 8:15 Uhr
Aufgabe 1. SeiX ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
(a) Eine Teilmenge Y ⊆ X ist genau dann zusammenh¨angend (als Teilraum), wenn f¨ur je zwei offene TeilmengenU, V ⊆X ausY ⊆U∪V undU∩V ∩Y =∅bereits Y ⊆U oder Y ⊆V folgt.
(b) IstY ⊆X zusammenh¨angend, so auch der Abschluss Y ⊆X.
Aufgabe 2. SeiX ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
(a) Sind Y, Z ⊆ X zusammenh¨angend mit Y ∩Z 6= ∅, so ist auch Y ∪Z zusam- menh¨angend.
(b) Die folgenden Relationen∼und ≈auf X sind ¨Aquivalenzrelationen:
x∼y :⇔ es gibt eine zusammenh¨angende Teilmenge Y ⊆X mitx, y∈Y, x≈y :⇔ es gibt einen Weg w inX von x nach y.
(c) X ist die disjunkte Vereinigung maximaler zusammenh¨angender Teilmengen und die disjunkte Vereinigung maximaler wegzusammenh¨angender Teilmengen ist.
Aufgabe 3. Wir betrachten
Y :={(x,sin(π/x)) : 0< x≤1} und X:=Y ∪({0} ×[−1,1]).
Zeigen Sie: (a) Y =X und (b)X ist zusammenh¨angend.
Aufgabe 4. SeiX ein topologischer Raum.
(a) Sei w ein Weg in X. Wie in der Vorlesung seiw(t) = w(1−t) und ιx(t) =x f¨ur allet∈[0,1] und x∈X. Geben Sie Homotopien H und K an mit
w∗ιw(1) ∼H w und w∗w∼K .ιw(0)
Beschreiben Sie anschaulich, wie sich die Wege Ht und Kt mit wachsendem t
¨ andern.
(b) Seien v und w Wege in X, die frei homotop sind. Zeigen Sie, dass es dann Wege u0 von v(0) nach w(0) und u1 von v(1) nach w(1) und eine Homotopie K mit v∗u1 ∼K u0∗wgibt. Beschreiben Sie anschaulich, wieKt jeweils verl¨auft.
Zusatzaufgabe 5. Zeigen Sie f¨ur die R¨aumeY und X aus Aufgabe 3:
(a) F¨ur keine a < b gibt es eine stetige Abbildung w: [a, b] → X mit w((a, b]) ⊆ Y und w(a)∈ {0} ×[−1,1].
(Hinweis: Finden Sie t±n ∈(a, b] mitt±n →aundw(t±n)→(0,±1).) (b) X ist nicht wegzusammenh¨angend.
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