SeiΩ ={0,1}N der Ergebnisraum des unendlich oft wiederholten M¨unzwurfes und P(Ω) die Potenzmenge ¨uber Ω

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´c Ubungsblatt 2¨

Aufgabe 1. Die Regierungschefs der vier skandinavischen L¨ander D¨anemark, Schweden, Nor- wegen und Finnland wollen sich zum Abschluß eines Gipfeltreffens zusammen mit ihren Außen- ministern in eine Reihe zum Familienfoto aufstellen. Angenommen, die Anordnung erfolgt rein zuf¨allig,

(a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Außenminister neben seinem Chef steht?

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß kein Außenminister neben seinem Chef steht?

Satz 1(Satz von Vitali, 1905). SeiΩ ={0,1}^N der Ergebnisraum des unendlich oft wiederholten M¨unzwurfes und P(Ω) die Potenzmenge ¨uber Ω. Dann gibt es keine AbbildungP:P →[0,1]mit den Eigenschaften

(N) Normierung: P(Ω) = 1.

(A) σ-Additivit¨at: Sind A₁, A₂, . . .⊂Ω paarweise disjunkt, so gilt P(∪_i≥1A_i) =X

i≥1

P(A_i).

(I) F¨ur alleA⊂Ω und n≥1 gilt P(T_nA) =P(A). Dabei ist

T_n:ω= (ω₁, ω₂, . . .)→(ω₁, . . . , ωn−1,1−ω_n, ω_n+ 1, . . .)

die Abbildung von Ω auf sich, welche das Ergebnis des n-ten Wurfes umdreht, und TnA = {T_n(ω) : ω ∈ A} das Bild von A unter T_n. (Dies dr¨uckt die Fairness der M¨unze und die Unabh¨angigkeit der W¨urfe aus.)

Aufgabe 2. Beweisen Sie Satz 1.

Aufgabe 3. Anton und Brigitte vereinbaren ein faires Spiel ¨uber 7 Runden. Jeder zahlt 5 Euro als Einsatz, und der Gewinner erh¨alt die gesamten 10 Euro. Beim Stand von 2 : 3 f¨ur Brigitte muss das Spiel abgebrochen werden. Anton schl¨agt vor, den Gewinn in diesem Verh¨altnis zu teilen.

Soll Brigitte sich darauf einlassen? Stellen Sie dazu ein geeignetes Modell auf und berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Brigitte!

Aufgabe 4. Sei pn die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse von n Kindern wenigstens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Vereinfachend sei dabei angenommen, dass kein Kind am 29.

Februar geboren ist und alle anderen Geburtstage gleich wahrscheinlich sind. Zeigen Sie (unter Verwendung der Ungleichung 1−x≤e^−x)

p_n≥1−e−n(n−1)/730, und bestimmen ein m¨oglichst kleines nmitp_n≥1/2.

Aufgabe 5 (Negative Binomialverteilung). Seien r ∈ N und p ∈ (0,1) gegeben. Beweisen Sie, dass durch

P({k}) =

k+r−1 k

p^r(1−p)^k eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert ist.