Aufgabe 1. Seien A

(1)

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 2

Abgabe bis 26. April 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Seien A

1

, . . . A

n

∈ A unabh¨ angige Ereignisse. Zeigen Sie, dass A

1

und A

^c₂

unabh¨ angig sind; A

^c₁

und A

^c₂

unabh¨ angig sind.

F¨ ur den Rest der Aufgabe darf man annehmen, dass sogar f¨ ur beliebige disjunkte Teilmengen I, J ⊂ {1, . . . , n}

P





\

i∈I

A

i

!

∩





\

j∈J

A

^c_j







 = Y

i∈I

P (A

i

) Y

j∈J

P (A

^c_j

)

gilt.

Fluggesellschaften stellen fest, dass ein Passagier, der einen Platz reserviert hat, mit Wahr- scheinlichkeit

₁₀¹

nicht kommt. Daher verkauft Air Chemnitz immer 100 Tickets f¨ ur ein Flugzeug mit 95 Pl¨ atzen. Berechnen Sie die ¨ Uberbuchungswahrscheinlichkeit p unter der Annahme, dass die einzelnen Passagiere unabh¨ angig voneinander kommen oder wegbleiben. Sch¨ atzen Sie den Fehler ab, der sich ergibt, falls man f¨ ur die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit die Poissonap- proximation ansetzt.

Hinweis: Ereignisse A

1

, . . . A

n

∈ A heißen unabh¨ angig, falls

P \

i∈I

A

i

!

= Y

i∈I

P (A

i

).

f¨ ur alle Teilmengen I ⊂ {1, . . . , n} gilt.

Aufgabe 2. In einer Urne befinden sich N Kugeln, davon K rote. Wir ziehen n Kugeln ohne Zur¨ ucklegen, wobei n ≤ min(K, N − K). Beschreibe dieses Modell durch einen geeigneten Wahr- scheinlichkeitsraum. Sei k ∈ {0, 1, . . . , n}. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit k rote Kugeln in einer Stichprobe zu haben genau

p(k) = K

k

N − K n − k

N n

ist. Diese Gewichte definieren die hypergeometrische Verteilung mit Parametern N , K und n.

Zeigen Sie, dass die hypergeometrische Verteilung f¨ ur N → ∞ und K → ∞ mit p = K/N konstant gegen die Binomialverteilung mit Parametern n und p konvergiert.

Bitte wenden!

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Aufgabe 3. (a) Ein messbarer Raum (Ω, A) mit einem Maß µ: A → [0, ∞] heißt Maßraum. Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und N := {N ∈ A | µ(N ) = 0} die Familie der µ-Nullmengen. Zeigen Sie

(i) ∅ ∈ N ,

(ii) N ∈ N , A ∈ A, A ⊂ N ⇒ A ∈ N , (iii) ∀ i ∈ N : N

_i

∈ N ⇒ ∪

_i∈_N

N

_i

∈ N .

(b) Seien a, b ∈ R gegeben. Geben Sie alle Nullmengen des Diracmaßes δ

_a

+δ

_b

auf dem messbaren Raum ( R , B( R )) an.

Aufgabe 4. Ein Maßraum (Ω, A, µ) heißt vollst¨ andig, falls jede Teilmenge einer µ-Nullmenge ein Element von A ist. Zeigen Sie, dass jeder beliebige Maßraum (Ω, A, µ) zu einem vollst¨ andigen Maßraum (Ω, A

^∗

, µ) erweitert werden kann. Definieren Sie dazu ¯

A

^∗

= {A ∪ N | A ∈ A, N ⊂ M f¨ ur eine A-messbare Nullmenge M } und

¯

µ(A

^∗

) = µ(A),

falls A

^∗

= A ∪ N , wobei A ∈ A und N ⊂ M f¨ ur eine A-messbare Nullmenge M , und zeigen Sie (i) A

^∗

ist eine σ-Algebra und enth¨ alt A,

(ii) ¯ µ(A

^∗

) ist wohldefiniert, d. h. unabh¨ angig von der Wahl der Darstellung A

^∗

= A

₁

∪ N

₁

= A

2

∪ N

2

, mit A

i

∈ A und N

i

Teilmenge von einer Nullmenge,

(iii) ¯ µ ist ein Maß auf A

^∗

und ¯ µ(A) = µ(A) f¨ ur alle A ∈ A, (iv) (Ω, A

^∗

, µ) ist vollst¨ ¯ andig,

(v) A

^∗

= {A

^∗

⊂ Ω | ∃ A, B ∈ A, A ⊂ A

^∗

⊂ B, µ(B \ A) = 0}.

F¨ ur den letzten Aufgabenteil brauchen wir zwei weitere Begriffe: Sei (Ω, A) ein messbarer Raum.

Dann heißt ein Abbildung f : Ω → Ω messbar bzgl. A, falls f

⁻¹

(A) ∈ A f¨ ur alle A ∈ A gilt. Ein Maß µ auf (Ω, A) heißt f -invariant, falls µ(f

⁻¹

(A)) = µ(A) f¨ ur alle A ∈ A gilt.

(vi) Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, f : Ω → Ω messbar und µ invariant unter f. Dann ist f auch

A

^∗

-messbar und ¯ µ ist f -invariant.