Aufgabe 1. Geben Sie beim Lösen dieser Aufgabe immer den von Ihnen verwendeten Wahrscheinlichkeitsraum Ω an!

(1)

Stochastik für das Lehramt Prof. Dr. U. Freiberg

Sommersemester 2019 Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 2

Abgabe am 07. Mai 2019

Aufgabe 1. Geben Sie beim Lösen dieser Aufgabe immer den von Ihnen verwendeten Wahrscheinlichkeitsraum Ω an!

(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem gut durchgemischten Skatspiel alle vier Asse direkt übereinander liegen.

(b) Welches Ereignis hat die größere Wahrscheinlichkeit? Beim 4-maligen Würfeln mit ei- nem Würfel mindestens eine Sechs oder beim 24-maligen Würfeln mit zwei Würfeln mindestens einen Sechserpasch zu werfen?

(c) Ein Würfel wird 7 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede der Ziffern 1, . . . , 6 mindestens einmal dabei vorkommt?

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Skatrunde nach dem Geben zwei Buben im Skat liegen?

Aufgabe 2. Fluggesellschaften haben festgestellt, dass Passagiere, die einen Flug gebucht haben, unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% nicht einchecken.

Deshalb werden normalerweise mehr Tickets verkauft als es Sitzplätze im Flugzeug gibt.

Eine Fluggesellschaft hat für ein Flugzeug mit 18 Sitzen 20 Flugtickets verkauft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sitzplätze nicht ausreichen?

Hinweis: Stellen Sie ein Binomialverteilungsmodell auf.

Aufgabe 3. Auf einer Zuchtperlenfarm werden Muscheln gezüchtet, dabei bringt jede Mu- schel mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% eine Perle hervor (und dies unabhängig vom Geschehen in allen anderen Muscheln). Beantworten Sie die folgenden Fragen jeweils durch exakte Rechnung und durch Anwenden der Poissonapproximation:

(a) Wie viele Muscheln muss man mindestens öffnen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50% mindestens eine Perle zu finden?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verbirgt sich in 100 Muscheln keine einzige Perle?

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man in 100 Muscheln mindestens zwei Perlen?

Aufgabe 4. Bei einer Weihnachtsfeier bringt jeder der n Teilnehmer ein Geschenk mit. Diese werden in einen Sack gesteckt, gut durchmischt und wieder unter den n Teilnehmern verteilt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand das Geschenk erhält, das er mitgebracht hat? Wie verhält sich diese Wahrscheinlichkeit, für n → ∞?

Aufgabe 5. Betrachten Sie eine Folge von Urnen, wobei sich in der N -ten Urne S _N schwarze und W _N weiße Kugeln befinden und S _N + W _N = N . Es gelte lim _N →∞ S

N

N = p ∈ (0, 1).

Es werden jeweils n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wogegen konvergiert die Folge der

Wahrscheinlichkeiten, dass aus der N -ten Urne genau k schwarze Kugeln gezogen werden

für N → ∞?

Aufgabe 1. Geben Sie beim Lösen dieser Aufgabe immer den von Ihnen verwendeten Wahrscheinlichkeitsraum Ω an!

Stochastik für das Lehramt Prof. Dr. U. Freiberg

Sommersemester 2019 Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 2

Abgabe am 07. Mai 2019

Aufgabe 1. Geben Sie beim Lösen dieser Aufgabe immer den von Ihnen verwendeten Wahrscheinlichkeitsraum Ω an!

(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem gut durchgemischten Skatspiel alle vier Asse direkt übereinander liegen.

(b) Welches Ereignis hat die größere Wahrscheinlichkeit? Beim 4-maligen Würfeln mit ei- nem Würfel mindestens eine Sechs oder beim 24-maligen Würfeln mit zwei Würfeln mindestens einen Sechserpasch zu werfen?

(c) Ein Würfel wird 7 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede der Ziffern 1, . . . , 6 mindestens einmal dabei vorkommt?

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Skatrunde nach dem Geben zwei Buben im Skat liegen?

Aufgabe 2. Fluggesellschaften haben festgestellt, dass Passagiere, die einen Flug gebucht haben, unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% nicht einchecken.

Deshalb werden normalerweise mehr Tickets verkauft als es Sitzplätze im Flugzeug gibt.

Eine Fluggesellschaft hat für ein Flugzeug mit 18 Sitzen 20 Flugtickets verkauft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sitzplätze nicht ausreichen?

Hinweis: Stellen Sie ein Binomialverteilungsmodell auf.

(a) Wie viele Muscheln muss man mindestens öffnen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50% mindestens eine Perle zu finden?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verbirgt sich in 100 Muscheln keine einzige Perle?

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man in 100 Muscheln mindestens zwei Perlen?

Aufgabe 4. Bei einer Weihnachtsfeier bringt jeder der n Teilnehmer ein Geschenk mit. Diese werden in einen Sack gesteckt, gut durchmischt und wieder unter den n Teilnehmern verteilt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand das Geschenk erhält, das er mitgebracht hat? Wie verhält sich diese Wahrscheinlichkeit, für n → ∞?

Aufgabe 5. Betrachten Sie eine Folge von Urnen, wobei sich in der N -ten Urne S N schwarze und W N weiße Kugeln befinden und S N + W N = N . Es gelte lim N →∞ S

N = p ∈ (0, 1).

Es werden jeweils n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wogegen konvergiert die Folge der

Wahrscheinlichkeiten, dass aus der N -ten Urne genau k schwarze Kugeln gezogen werden

für N → ∞?

Aufgabe 5. Betrachten Sie eine Folge von Urnen, wobei sich in der N -ten Urne S _N schwarze und W _N weiße Kugeln befinden und S _N + W _N = N . Es gelte lim _N →∞ S