Blatt 10, Aufgabe 1: Zeeman-Effekt

Aufgabe 1

Blatt 10, Aufgabe 1: Zeeman-Effekt

Energieaufspaltung im Magnetfeld

Den Zeeman-Effekt kann man verstehen mit einem semi-klassischen Modell:

Elektron auf „Kreisbahn“ um Atomkern = Strom durch Leiterschleife Deswegen erzeugt das Elektron ein magnetisches Moment

Ein magnetischer Dipol in einem äußeren Magnetfeld hat aber die Energie

Für ein Magnetfeld in z-Richtung ( ) ergibt sich

Die führt zu einer Aufspaltung der Energieniveaus um

B m

B m m

B e m L

e

B z

B B

E

B l l

e z

e

z L L

L B

μ μ

μ μ

=

⋅

=

⋅

−

−

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

) 2 ( 2

ˆ

h r v

r

m L e

L

r r

− 2 μ =

B r B

E _B = − μ r ⋅ r

z B B r = ⋅ ˆ

r j

+ e - +

r j L r

μ ^r L

B r

z B l

B m B

E = μ E B

E

Aufgabe 1 a,b

Blatt 10, Aufgabe 1: Zeeman-Effekt

a) Energieaufspaltung

3d-Niveau: l=2

Die maximale Energieaufspaltung herrscht also zwischen den beiden Zuständen mit m

=-2 und m

=+2

b) Energie von Photonen

Übergangsenergie ohne Magnetfeld:

entsprechend einer Wellenlänge von

Bei angelegtem Magnetfeld spaltet das 2p-Niveau auf:

damit erhöht oder erniedrigt sich die Wellenlänge um:

meV B

E

B m

E

z B z B l

23 , 0 )

2 2

2 (

,

2 = + =

Δ

Δ

= Δ

+

− μ

μ

eV E

E

E _{B = 0} = ₀ − ₄ ¹ ₀ = 10 , 2

= 0 B

≠ 0 B

T eV e

B z

m e T B

10

79 , 2 5

1

⋅

=

=

= μ h

eV E

s p

6 , 13

1 2

0

=

→

meV B

E = _B = 0 , 116

Δ μ

p 2

eV nm

c h

B _{= 0} = _{10 , 2} ^⋅ = 121 , 5 λ

E nm

E c h E

c h

B

3

0 1 , 38 10

0 0

− Δ

⋅ ±

= − = ⋅ − = ± ⋅

=

Δ λ λ λ

2 1 0 1 2

−

− + +

l

= m

p 2

s 1

1 0 1

− +

l = m

Aufgabe 1 c

Blatt 10, Aufgabe 1: Zeeman-Effekt

c) Auflösungsvermögen

Das Auflösungsvermögen eines Gitters war definiert als mit m = Ordnungsparameter.

Die benötigte Anzahl ausgeleuchteter Linien beträgt damit also:

N m ⋅

Δ λ λ =

88000

3 0

10 38 , 1

5 ,

121 ≈

=

=

=

Δ ⋅

Δ nm

B

nm

N ^λ _λ ^λ _λ

Beugungsordnung m=1

B _{= 0} = 121 , 5 nm λ

3 nm 10 38 ,

1 ⋅ ⁻

±

= Δ λ

Beispiel: Gitter mit g=1000 mm

müssen ausgeleuchtet sein mm cm

g

N 8 , 8

1000 88000

1

=

=

Aufgabe 2 a

Blatt 10, Aufgabe 2: Optische Übergänge im H-Atom

a) Anregungsenergie

Im Wasserstoffatom (Z=1) ist die Energie im Zuständen mit der Quantenzahl n gegeben durch

Um das H-Atoms mit einer Lichtquelle vom Zustand n

in den Zustand n

anzuregen, muss die Photonenenergie der Energiedifferenz gleich sein:

Um also das H-Atom vom Grund- in den Zustand mit n=4 anzuregen, müssen die Photonenenrgie der anregenden Lichtquelle

sein.

Das entspricht einer Wellenlänge

Diese Wellenlänge liegt im tiefen UV (Als Lichtquellen kommen spezielle Gasentladungslampen infrage):

ergie) (Rydbergen

eV

n E

n Z

n E E

E

( 0 13 , 6

2

1

0

0 = − =

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

=

−

= Δ

=

1 2 2 0 2

1

1 1

n E n

E E

E

E

( ) ^{E eV}

E E

E

E

12 , 75

1 1 42

1 0 1

4

− = − = =

=

eV nm

Js E

ch c

eV J s

m

Ph

3 , 10 97

602 , 1 75

, 12

10 63 , 6 10 3

19 34 8

⋅ =

⋅

⋅

= ⋅

=

=

⋅ −

λ ν

n=1 n=2 n=3 n=4

E 0

−

4 E

−

16 E

−

9 E

−

E

=12,75eV λ=97,3 nm

E

Δ E

Wegen hat der optisch erlaubte Endzustand

in der 4. Schale (n=4) die Drehimpulsquantenzahl . (also 4p-Zustand).

Der Zustand 4p ist dreifach entartet ,

und alle 3 Zustände können angeregt werden.

Die Zustände

können aus dem Grundzustand (4s) nicht angeregt werden, d.h. sie sind optisch verboten.

Aufgabe 2 b

Blatt 10, Aufgabe 2: Optische Übergänge im H-Atom

b) Erlaubte optische Übergänge - Anregung

Für optisch erlaubte Übergänge müssen sich

Anfangs- und Endzustand in der Drehimpulsquantenzahl um unterscheiden.

Der Anfangszustand ist der Grundzustand (n=1).

→ Nur (1s-Zustand) ist möglich

l Δl = ± 1 l

l m

n l

l

= − +

−

=

, ,

) 1 ( 1 , 0

K K

Mögliche Quanten- Zahlen in Schale n :

Für jede Drehimpuls- quantenzahl l

± 1

= Δl

= 1 l

= 0 l

1 , 0 , 1 +

−

l

= m

3 2 0

=

=

= l l

l (4s-Zustand) (4f-Zustand) (4d-Zustand) E

=12,75eV

λ=97,3 nm

1s

3p

3s 3d

2p 2s

= 0 l

4p

4s 4d

= 1

l l = 2 l = 3

4f

Für die Hauptquantenzahl des Endzustandes gibt es keine Auswahlregel.

Möglich sind deswegen folgende Übergänge mit den Photonenenergien bzw. Wellenlängen:

Aufgabe 2 c

Blatt 10, Aufgabe 2: Optische Übergänge im H-Atom

c) Erlaubte optische Übergänge - Relaxation

Das Atom kann unter Emission von Licht vom 4p-Zustand in einen niedrigeren Zustand relaxieren.

Für optisch erlaubte Übergänge muss wieder gelten.

Die Drehimpulsquantenzahl des Endzustandes muss also entweder (d-Zustand)

'

l ^{Δl = ± 1} l

l m

n l

l

= − +

−

=

, ,

) 1 ( 1 , 0

K K

l

0 1 1 1 '

2 1 1 1 '

=

−

=

−

=

= +

= +

= l l

l l

oder (s-Zustand) sein.

' n

Mögliche Quanten- Zahlen in Schale n :

Für jede Drehimpuls- quantenzahl

End- zustand

Entartung des Endzustandes

3s 1-fach 0,66eV 1882 nm

3d 5-fach 0,66eV 1882 nm

2s 1-fach 2,55eV 487 nm

1s 1-fach 12,75eV 97 nm

E Ph λ _Ph

Übergänge sind zu allen Endzuständen (d.h. alle ) möglich.

(wegen Übersichtlichkeit

sind nicht alle einzeln markiert)

1s

3p

3s 3d

2p 2s

= 0 l

4p

4s 4d

= 1

l l = 2 l = 3

4f

m l

1 ) ( 1

2 2 1

0

n n

E

E

= −

Ph

Ph

E

= ch

λ

Absorption

Stimulierte Emission

Spontane Emission

Aufgabe 3

Blatt 10, Aufgabe 3: Laser

Grundlagen

E

Absorption eines Photons und Anregung eines Elektrons aus einem besetzten Niveau in ein unbesetztes höheres Niveau.

Ankommendes Photon der gleichen Energie stimuliert den Emissionsprozess. Emittiertes Photon ist kohärent zum stimulierenden Photon.

Das Elektron fällt unter Aussendung eines Photons in den unteren Zustand zurück.

E

E

E

E

E

In einem 2-Niveau-System finden Absorption und Emission bei der

gleichen Wellenlänge (Energie) statt. Damit erreichen wir maximal gleiche Besetzung der beiden Niveaus, also keine Besetzungsinversion.

Der Laserprozess funktioniert in einem 2-Niveau-System also nicht!

2-Niveau-System

Aufgabe 3 a

Blatt 10, Aufgabe 3: Laser

Grundlagen ^Pumpen: Übergang von Elektronen aus dem Niveau E1 in das Niveau E2 durch optische oder elektrische Anregung.

Inversion: Die Elektronen im Niveau E2 relaxieren in das Niveau E3. Wenn

gilt, entsteht eine Besetzungsinversion zwischen E1 und E3.

Lasern: Ist das System in einen Resonator eingebaut, kann ein spontan emittiertes Photon eine Lawine von stimulierten Emissionen

auslösen.

a) Thermische Besetzung

Boltzmann-Statistik:

T

=300K T

=1000K

-> die thermische Besetzung ist i.A. vernachlässigbar E

3-Niveau-System

E

E

31

23

τ

τ <<

BT k

E E

N

e

N ^{2 1}

1 2

− −

=

K T

K T

eV E

E E

eV E

E E

k

1000 300

4 , 2

7 , 1 10 38 , 1

2 1

0 2 2

0 1 1

23

=

=

=

−

= Δ

=

−

= Δ

⋅

=

41

29

4 , 60 10

10 67 , 2

0 2

0 2 0

1

0

1 − − − −

⋅

=

=

⋅

=

= e

e

N N

13

9

7 , 92 10

10 68 ,

2

2 0

1

= ⋅

= ⋅

N N

Aufgabe 3 b

Blatt 10, Aufgabe 3: Laser

b) Laser und Glühbirne: räumliche Abstrahlcharakteristik

Leistungsdichte des Lasers: Durchmesser des Strahls bleibt konstant

Leistungsdichte der Glühbirne: Glühbirne strahlt in alle Richtungen gleichmäßig ab, d.h. berechne Oberfläche einer Kugel mit r=3m

2 2

2 4

2 6

) 10 5 (

6 7 , 64 10 7 , 64 10

cm W m

W m

W A

P L

I =

= _⋅

_⋅ π = ⋅ = ⋅

m r

W P

mm d

W P

el G

L L

3

% 10

60 1 6

=

=

=

=

=

η

2 2

2 2

6 2

) 3 ( 4

1 , 0 60

4 5 , 31 10 5 , 31 10

cm W m

W m

W r

P A

P G

el G

I =

= _{π ⋅} ^{⋅ η} = _{π ⋅} ^⋅ = ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻ d

r

10 9

7 ⋅ ⁻

=

L G

I

I

Aufgabe 3 c

Blatt 10, Aufgabe 3: Laser

c) Laser und Glühbirne:

spektrale Strahlungscharakteristik

Der Laser ist eine monochromatische Lichtquelle, d.h. kein „Schwarzer Strahler“, d.h. es lässt sich keine

Strahlungstemperatur definieren.

Eine Glühbirne ist ein „Schwarzer Strahler“,

dessen Strahlungstemperatur sich durch das . . Wien‘sche Verschiebungsgesetz

berechnen lässt ( Strahlungsmaximum).

Bei welcher Temperatur liegt das Strahlungsmaximum bei der Laserwellenlänge, d.h. ?

Wie bestimme ich const. ?

Da die Sonne auch ein „Schwarzer Strahler“ ist, gilt das Wien‘sche Verschiebungsgesetz in der Form Also:

K T

nm Sonne

const T

nm

S S L

5800 500

:

. 532

=

=

=

⋅

=

λ λ λ

: ngsgesetz Verschiebu

sches Wien'

. const T

S

⋅ = λ

S S G

G

⋅ T = λ ⋅ T λ

T

. const T

G

⋅ =

λ

nm K K nm

T T

L S S

G

5451

532 5800

500 ⋅ =

⋅ =

= λ

λ

L

G

λ

λ =

Laser

Glühbirne

G

: λ

T

L

G

λ

λ =

L G

G

const const

T λ λ

. . =

? =

?

0 500 1000 1500 2000 2500

0 10 20 30 40 50 60

Intensität

Wellenlänge

Aufgabe 5

Blatt 10, Aufgabe 4: Interferenz

Prinzip

n

=1,2 n

=1,5

d n

=1 λ ^{vac Δ ϕ = π = ˆ}

Die reflektierten Wellen löschen sich genau dann aus, wenn die direkte Reflexion an der dünnen Schicht und die Reflexion am Glas um λ/2 verschoben (um π phasenverschoben) sind.

Phasensprünge bei Reflexion am optisch dichteren Medium: Da der Phasensprung sowohl bei der Reflexion an der dünnen Schicht als auch bei der Reflexion am Glas auftritt, heben sich beide Sprünge hier auf.

Der Gangunterschied in der dünnen Schicht muss also λ/2 betragen:

nm d

d d

n vac n

S

vac

125

2

4 1 4

4 2

=

⋅

⋅

=

=

=

⇒

=

λ

λ

λ λ

λ ist die Wellenlänge innerhalb der Schicht!

vac nm

n vac n

S vac

= 600

= λ

λ λ

a)

Aufgabe 5

Blatt 10, Aufgabe 4: Interferenz

Gangunterschied für konstruktive Interferenz:

d

d n

n λ = α ⇒ α = ^λ

=

Δ sin sin

b)

Δ d α

[ ] _d ^λ

α

0 1 sin

-1 -0.5 0.5

Aufgabe 5

Blatt 10, Aufgabe 4: Interferenz

Massive Teilchen:

eV E

eV E

E

p d

n p e

md h m

p kin

h p

h

081 . 0

6 , 149

,

2 2

2 2

>

>

>

=

>

⇒

<

= _λ

λ

c)

Masselose Teilchen:

keV E

d h

E

d hc E

hc

hc

38 ,

= 12

>

⇒

<

=

=

= λ

ν _λ

d

m m

d sin sin ₂

2 ϕ = λ ⇒ ϕ = ^λ

= Δ

d) Gangunterschied:

o o o

2 , 63 9

, 0 sin

9 , 36 6

, 0 sin

4 , 17 3

, 0 sin

3 3

2 2

1 1

=

=

=

=

=

=

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

Aufgabe 5

Blatt 10, Aufgabe 5: Quantenstatistik

a) Pauli-Prinzip:

Zwei identische Fermionen können nicht im gleichen Quantenzustand sein.

b) Bosonen: ganzzahliger Spin 0, 1, 2,...

Bsp.: Photon, Phonon, He-Kern, Deuteron-Kern Fermionen: halbzahliger Spin ½, 3/2, ...

Bsp.: Elektron, Proton, Neutron,

He-Kern

c) Bose-Einstein-Verteilung für große Teilchenenergien:

) , 1 (

1 ) 1

, (

1

/ /

/ /

T E f

e e T e

E f

e T

k E

MB T

k E T

k E T

k BE E

T k E B

B B

B B

=

=

− ≈

=

⇒

>>

⇒

>>

−