Blatt 6, Aufgabe 1: Beugung am Einzelspalt

Aufgabe 1 a,b

Blatt 6, Aufgabe 1: Beugung am Einzelspalt

λ

α

π

sin

) c

sin

0

2 sin )

(

b

x I

x I

x

x

=

=

=

(

a) Bedingungen für Fraunhofer-Beugung:

Sowohl die Lichtquelle als auch der Beobachtungsschirm müssen relativ zum Spalt unendlich entfernt sein.

b) Die Intensitätsverteilung wird durch die sinc-Funktion beschrieben:

ist die Phasenverschiebung zwischen Wellenpaaren, d.h. die Phasenverschiebung zwischen den Strahlen am Spaltrand und denen in der Spaltmitte

(z.B. zwischen Welle 1 und 11 bei 20 angenommenen Wellen)

-3 -2 -1 0 1 2

x (π) sinc (x)

α

x b

s

b b n

b

n n

x x

x

λ λ π λ

π

α α α

π

=

=

≠

⋅

=

=

sin )

sin tan(

sin

0 ,

tan

Aufgabe 1 c

Blatt 6, Aufgabe 1: Beugung am Einzelspalt

c) Bedingung für Extrema der Intensität

α x

b

π

⋅

=

⇒

=

⇒

=

=

−

=

−

=

=

m x

x x

x x

x x x

x x x

x x x x x x

x dx

d

tan

0 sin

0 cos

0

sin

! sin 2 cos

sin 2 sin

2 cos sin 2 sin

3 2 2

4

2 2

2 2

oder

Unterscheidung in Minima und Maxima per 2. Ableitung ist möglich aber etwas aufwändig. Einfacher: Betrachtung der Kurven.

Umrechnung von paarweiser Phasenverschiebung x in Winkel α λ

α

π ^b

sin

x =

-3 -2 -1 0 1 2 x (π)

sinc (x) tan (x) x

m

Aufgabe 1 d

Blatt 6, Aufgabe 1: Beugung am Einzelspalt

d) Zahlenbeispiel

Minima bei α

x b

° L

°

°

=

°

⋅

≈

⇒

⋅

=

⋅

=

38 , 01 92

, 0 46

, 0

46 , 0 008

. 0 sin

α

α

α n

n n

m b

nm

μ

Maxima: x=tan x ist transzendente Gleichung, d.h. nicht direkt lösbar. Bestimme x aus Diagramm oder numerisch:

λ

50 400

=

=

solange α klein

Maximum 0 1 2 3

x 0 4,50 7,72

0,0197 1,13

10,90

sin α 0 0,0115 0,0278

α _max [ ^o ] 0 0,657 1,59

max

sin max x

b ⋅

= ⋅

π α λ

max

tan x

= x

Analog zur Fouriertransformation einer zeitabhängigen Funktion kann man die Fouriertransformation einer

ortsabhängigen Funktion A(x) durchführen.

Das Ergebnis ist die Fourierkomponente A(k_x) bei derRaumfrequenz k_x. Bedeutung von k_x:

Eine Welle mit Wellenlänge breite sich unter dem Winkel zur Horizontalen aus.

Man definiert den Wellenvektor als Vektor in

Ausbreitungsrichtung der Welle und mit Betrag . (k heisst Wellenzahl ).

ist dann einfach die x-Komponente des Wellenvektors.

Wenn man die Intensitätsverteilung der schräg laufenden Welle auf dem Projektionsschirm betrachtet, so hätte diese gerade eine Wellenlänge

Aufgabe 1 e

Blatt 6, Aufgabe 1: Beugung am Einzelspalt

e) Fouriertransformation der Spaltfunktion

α x

b

∫

∞

−

⋅

= A x e dx

k

A

( )

2

) 1

~ (

π

α λ

kr

λ π

= 2

k

λ α π sin

= 2 kx

kx

= π Λ

k_xist also ein Maß für die räumliche Modulation der Intensitätsverteilung einer Welle in der Projektionsebene.

Zeit Raum

“Orts”

variable t [s] x [m]

Fre-

quenz ω [s^-1] k_x [m^-1]

Fouriertransformation in Raum und Zeit:

)

~( ) (

ω

t f

)

~( ) (

kx

A x A

α

k r k

Schirm

xˆ zˆ

Λ

)

( x

I

Aufgabe 1 e

Blatt 6, Aufgabe 1: Beugung am Einzelspalt

e) Fouriertransformation der Spaltfunktion

α x

b Einsetzen von A(x) ergibt:

( ) ( )

sin 2

2 2 1 2

2 1

2 ) 1

2 ( ) 1

~(

2 2

2 2

2

2

x x

x x

k b b i

k i

x k b

b i k i x

b

b x k i x

k i x

k b A

b k k b

k b b

i e e

k b e b

k e i

dx e

dx e

x A k

A

x x

x x

x x

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎦=

⎢⎣ ⎤

⎡ −

⋅

−

=

=

⋅

=

− + +

−

+

−

∞ −

∞

−

−

∫

∫

π π

π π

π π

x

) (x A

2 + b 2

−b

1

Somit wird für α zu

λ π sin ) 2

~(k_x ² k_x = A

( ) ( )

( )

2 sin sin 0 2 sin

2 2 sin

2 sinc

) 2

~(

λ α π

λ α π λ

α π λ

α π

π ^b

b b

x b A

k

A ⁼ = = ⋅

Dies entspricht derSpaltfunktion für I₀=A₀

) sin (

2 sin )

( ²

0 sinc )

λ ϕ π b x

x I

x

I x

= ⋅

=

= ( x2

Aufgabe 1 e

Blatt 6, Aufgabe 1: Beugung am Einzelspalt

e) Fouriertransformation der Spaltfunktion

α x

b Die Beziehung

gilt für beliebige Aperturöffnungen.

Das bedeutet, dass die Beugung mit kollimiertem, kohärentem, senkrecht zur Aperturebene einfallendem Licht

verwendet werden kann, um die Fouriertransformierte der Apertur zu bestimmen.

) sin ( )

~(k_{x 2}^π_sinλ ^{α 2} I ^π_λ^b α

A ⁼ ∝

Aufgabe 2 a

Blatt 6, Aufgabe 2: Doppelspalt

a) Unterdrückte Intensitätsmaxima

Bedingung für ein Maximum beim Doppelspalt:

Bedingung für ein Minimum beim Einzelspalt (vgl. Aufgabe 1):

Damit ein Maximum der Beugungsfigur vom Doppelspalt unterdrückt wird, muss es mit einem Minimum der Beugungsfigur vom Einzelspalt zusammenfallen, d.h.

Unterdrückte Maxima sind also wellenlängenunabängig nur durch die Geometrie des Doppelspalts vorgegeben.

....) 2 , 1 , 0 (

sin = ⋅ = ± ±

⋅ m m

g ϕ λ

g

b ϕ

,....) 2 , 1 (

sin = ⋅ = ± ±

⋅ n n

b ϕ λ

b g n m

b n g

m

b n g

m

=

⇒

=

⇒

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅ λ λ

λ

λ

ϕ

ϕ sin

sin

Aufgabe 2 b,c

Blatt 6, Aufgabe 2: Doppelspalt

b) Interferenzstreifen unter zentralem Beugungsmaximum

Für das erste Minimum des Einzelspalts gilt n=1.

Dieses Minimum falle mit dem Doppelspalt-Maximum m zusammen:

, d.h. Ist ganzzahlig.

Da Doppelspaltmaximum der Ordnung m unterdrückt ist, sind nur Maxima bis zur Ordnung (m-1) innerhalb des zentralen Einzelspaltminimum

Die Beugungsfigur ist symmetrisch, also 2(m-1) Doppelspaltmaxima.

Das Maximum für m=0 zählt einfach. Somit liegen

Interferenzstreifen unter dem zentralen Maximum.

c) Gesamt-Interferenz-Figur

b g n

m

= m =

g

b α

( ) ^{1 1}

2 1 ) 1 (

2 m − + = ⋅

− +

b g

Für das Beispiel mit g=5b erkennt man im Schaubild

Interferenzstreifen unter dem zentralen Maximum.

( ) ^{1 1 9}

2 ⋅

− + =

= 5

b g

I

ϕ 0 sin

Aufgabe 3

Blatt 6, Aufgabe 3: Akustische Beugung

Wellenlänge des Schalls:

Beugungsminima am Einzelspalt:

Beobachtungswinkel:

Der Beobachter befindet sich also genau zwischen dem ersten und dem zweite Minimum. Deshalb ist das Klavier gut zu hören.

Analoge Rechnung für das Licht:

Selbst wenn man nicht in einem Minimum säße, ist die Ordnung des

Maximums viel zu groß um noch eine wahrnehmbare Intensität zu messen.

s m

c

nm Hz f

m b

m a

cm d

330 500 1100 4 8

90

=

=

=

=

=

=

λ

f m c

c

= ≈ 0 . 3 λ

n d

n

α = λ sin

5 . 0 sin = =

a α b

5 .

= 1

=

⇒

s

d a n b

λ

900000

=

= λ

d

a

n b

Aufgabe 4 i

Blatt 6, Aufgabe 4: Abbildung mit dünnen Linsen

( ( ) )

m f

m n

m m

r r f

303 , 0

3 , 3 45

, 0

) 1 (

1 25

, 0

1 3

, 0

1 1 1 1

2 1

=

= +

⋅

=

−

−

=

−

a) Brennweite

Linsengleichung:

b) Ort des Bildes

c) Abbildungsmaßstab cm

r

cm r

n

25 30

45 , 1

2 1

−

=

=

=

r

r

m

g

b

f b b

g

f ^{1 1 1 1 1}

0 , 49

1

= + = − ⇒ ≈

cm g =80

61 ,

8

0

, 0

49 ,

0

≈ −

−

=

−

=

=

β

g b

f f

G

B

β<0 : Bild ist umgekehrt b>0 : Bild ist reell

i)

a) Brennweite

Linsengleichung:

b) Ort des Bildes

c) Abbildungsmaßstab

Aufgabe 4 ii

Blatt 6, Aufgabe 4: Abbildung mit dünnen Linsen

( ( ) )

m f

m n

m m

r r f

303 , 0

3 , 3 45

, 0

) 1 (

1 25

, 0

1 3

, 0

1 1 1 1

2 1

−

=

−

=

−

⋅

=

−

−

=

−

−

r

r

m

g

b

f b b

g

f ^{1 1 1 1 1}

0 , 22

1

= + = − ⇒ ≈ −

275 ,

8

0

, 0

22 ,

0

≈

=

−

=

=

β

b<0 : Bild ist virtuell

cm r

cm r

n

25 30 45 , 1

2 1

=

−

=

=

cm g =80 ii)

f f

b g

G B

a)

b) Vergrößerung

c) Gegenstand in endlichem Abstand g

Die Linsen müssen also auseinandergezogen werden, und zwar um:

Aufgabe 5 a-c

Blatt 6, Aufgabe 5: Fernrohr

ZB

fob f_ok

ϕe ϕ^a

ok ob ob

ok ZB

ZB

f f f

e f

a

= ⋅ =

=

β

f a a

f e e

ϕ ϕ

ϕ ϕ

≈

=

≈

=

ok ob

ZB ZB

tan tan

mit für kleine

Winkel ϕ_a, ϕ_e

:

1 1 1

ob

b

b g

f

= +

1 1 ob 1

ob ob ob ob

ob

b f f

g

f f

g f g f

g f g

b

= ⇒ = = ⋅ >

− −

⋅

⋅

−

ob 2 ob ob

ob ob

ob

ob ( )

ob g f

f f

g f g f f

g f

f

b − =

−

=

= Δ

Bildweite, d.h. Ent- fernung vom Objektiv zum Zwischenbild

fob

d) Tubuslänge t

e) Abbildungsmaßstab des Objektivs

Aufgabe 5 d,e

Blatt 6, Aufgabe 5: Mikroskop

β ZB

fob

t

V

= −

1

24

24

= −

−

=

−

=

ob _ob

V

d.h. für ist

G

t f_ok

cm cm

cm cm

f f

l

t = −

−

= 30 − 1 − 5 = 24 cm

l

cm f

cm f

ok ob

30 5 1

=

=

=

fob

t =

−1

ob = V

l

fob

f) Vergrößerung des Mikroskops

g) Abstand vom Gegenstand zum Objektiv

Das Bild des Gegenstands muss am Brennpunkt des Okulars entstehen:

Der Gegenstand muss also 1,04 cm vom Objektiv entfernt sein.

Aufgabe 5 f,g

Blatt 6, Aufgabe 5: Mikroskop

β ZB

cm s

s

V

s ok

25 :

0 0

0

≈

=

( ) ( ) ^{( ) cm cm}

g

cm cm

cm f

l b

cm cm

b f

ok

ob

1 0 , 04 1 , 04

25 5

30

1 1 25

1 1

1 1 1

1

− = − = − =

=

=

−

=

−

=

− −

− Nahpunktsabstand

G

t f_ok

120 24

24

v

=

⋅

= − ⋅

= − ⋅

= − V

V

vgl. Vergrößerung durch eine Lupe

l

b g f

1 1

1

= +