blau: sin(x)
cos(x) sin(x)
sin(2x) cos(2x)
cos(x) sin(x)
sin(2x) cos(2x)
schwarz: Produkt der Funktionen
Fouriertransformation und Beugung
Betrachte eine periodische Funktion, deren Integral von -∞ bis +∞ endlich bleibt, z.B. f(x) = sin(x). Bilde
dx x n x
f b
n dx
x n x
f a
n n
) sin(
) 1 (
3 , 2 , 1 mit
) cos(
) 1 (
An den Beispielen für a
1, a
2, b
1, b
2sieht man, dass das Integral stets null ist außer für b
1= 1, weil das Integral von sin(x)∙sin(x) über eine Periode gleich ist.
Jede periodische Funktion mit endlichem Integral lässt sich durch eine sog. Fourierreihe darstellen
1 1
0 cos( ) sin( )
) 2 (
n n n
n n x b n x
a a x f
wobei die sog. Fourierkoeffizienten a
nund b
nden additiven Anteil an cos- und sin-Funktionen mit der
"Wellenzahl" n angeben. Der Term a
0/2 ist eine additive Konstante. Alternative Schreibweise:
- n x
dx xf c
x n c
x f
n n
n n
i exp ) 2 (
1
mit i
exp )
(
n x
f x g p
p x
dp cx f
n
n
n
i exp ) 2 (
) 1 ( i
exp )
(
Der diskrete Index n mit Abstand 1 wird durch eine kontinuierlichen Wert p mit beliebig kleinem Abstand dp ersetzt. Das Spektrum besteht nun nicht mehr aus diskreten Amplituden c
n, sondern aus einer kontinuierlichen Funktion g(p):
n x
g p f x
- p x
dxx f
cn
i exp ) 2 (
) 1 ( i
exp ) 2 (
1
Eine Darstellung der Fourierkoeffizienten mit aufsteigendem n zeigt die in der Funktion enthaltenen Frequenzanteile, stellt also ein "Spektrum" der Funktion dar. Die Zerlegung einer Funktion in diese Anteile heißt Fourieranalyse, das Zusammensetzen einer Funktion aus den spektralen Anteilen heißt Fouriersynthese. Die Fourierreihe lässt sich auf ein sog. Fourierintegral erweitern:
Mit einem Fourierintegral können auch nicht-periodische Funktionen f(x) dargestellt werden. Auffallend ist die Symmetrie der Ausdrücke für f(x) und g(p). Diese Funktionen bilden ein "Fourierpaar" und die Fouriertransformation ermöglicht, zwischen der x- und p-Darstellung in beide Richtungen zu wechseln. In der Praxis sind dies z.B. Zeit- und Frequenzdarstellung oder Orts- und Impulsdarstellung.
Wichtige Fourierpaare
konstante Funktion ↔ Delta-"Funktion" (ein beliebig kurzes Signal hat ein beliebig breites Spektrum, eine beliebig lange Sinuswelle hat eine beliebig gut festgelegte Frequenz)
Gauß-Funktion ↔ Gauß-Funktion (je kürzer das Signal, desto breiter das Spektrum und umgekehrt)
äquidistante Delta-"Funktionen" ↔ äquidistante Delta-"Funktionen" (das Spektrum einer Abfolge kurzer
Signale ist ein Linienspektrum mit Vielfachen der Grundfrequenz, z.B. Elektronenpaket im Speicherring)
Rechteck-Funktion ↔ sin(x)/x oder sinc-Funktion (vgl. Beugung am Spalt, s. weiter unten)
Zusammenhang mit der Beugung
) , ( ) , ( ) ,
(x y E x y x y
f
Unmittelbar hinter einer Blende bei z = 0 mit (x,y) = 1 innerhalb und (x,y) = 0 außerhalb der Blende ist das elektrische Feld
Von jedem Punkt (x,y) gehen Huygenssche Kugelwellen aus, so dass das elektrische Feld an einem Punkt P auf einem Schirm bei z = z
Pdurch das Fresnel-Kirchhoffsche Beugungsintegral gegeben ist:
2 2 2
2 2
2 2
1 i mit
) exp , ( )
, (
P P P
P P
P P
P P
P
P z
y y z
x z x
y y x x z r dy
r dx r y k
x f y
x
E
Die Intensität (Leistungsdichte) einer Kugelwelle nimmt mit 1/r
2ab, das elektrische Feld also mit 1/r.
Für hinreichend große Abstände z
Pkann die Wurzel wie folgt entwickelt werden (Fresnel-Näherung):
P P P
P P P
P P
P P
P
P z
y y y y
z x x x z x
z y y z
x z x
r
2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2 2
2
In einer weiteren Näherung werden x
2und y
2gegen z
Pvernachlässigt (Fraunhofer-Näherung):
y y dx dyz x k
z x y k
x f y z x
i k z z k
y x
E P
P P
P P
P P P
P P P
P
1 exp i 2
( , ) exp i exp i) ,
( 2 2
In dieser Näherung entspricht das Beugungsintegral einer (zweidimensionalen) Fouriertransformation zwischen f(x,y), gegeben durch die Form der Blende, und dem elektrischen Feld E
Pam Ort des Schirms.
Die Verteilung der Intensität erhält man durch Quadrieren.
8.5 Lichtstreuung
Streuung ist neben Brechung an einer Grenzfläche und Beugung an einem Hindernis ein weiteres Phänomen, bei dem Licht aus seiner Richtung abgelenkt wird. Wenn Licht auf Materie trifft, werden atomare Oszillatoren zu erzwungenen Schwingungen angeregt (vgl. elektromagnetische Welle in Materie, Brechungsindex etc.) und strahlen gemäß
Hier ist q die Richtung relativ zum einfallen E-Feldvektor und w ist die Kreisfrequenz, d.h. die
Winkelverteilung entspricht der eines Hertzschen Dipols und die Streuwahrscheinlichkeit steigt stark mit der Frequenz. An Luftmolekülen und Mikropartikeln wird blaues Licht stärker gestreut als rotes Licht. Dies bewirkt die blaue Farbe des Himmels und die Polarisation des Himmelslichts (Streuung senkrecht zur Einfallsrichtung) sowie Morgen-/Abendrot (blaues Licht wird weggefiltert).
Warum tritt diese Erscheinung nicht beim Durchgang durch alle transparenten Medien wie z.B. Glas auf? Wären alle Luftmoleküle vollkommen regelmäßig angeordnet, würde konstruktive Interferenz nur in bestimmte Richtungen stattfinden (vgl. Beugung am Spalt). Erst die unregelmäßige Anordnung von Luftmolekülen entsteht inkohärente Streuung in alle Richtungen.
Im Fall der Luftmoleküle ist die Größe der Streuteilchen klein gegen die Wellenlänge. Diesen
Streuprozess bezeichnet man als Rayleigh-Streuung. Die Streueigenschaften verändern sich, wenn die Teilchengröße in der Größenordnung der Wellenlänge liegt (Mie-Streuung), z.B. Fettröpfchen in Milch.
Versuch: weißes Licht durchstrahlt Wasser, in dem etwas Milch aufgelöst wurde. Vor der Seite erscheint die Lösung bläulich, das transmittierte Licht erscheint rot.
4
sin2
~ qw PS
9 Messung der Lichtgeschwindigkeit
Die Vorstellung, dass sich Licht in Bewegung befindet, also eine Geschwindigkeit hat, ist nicht ganz selbstverständlich, wurde aber schon im Altertum geäußert. Galilei versuchte, durch von Hand abgedeckte Laternen eine endliche Lichtgeschwindigkeit nachzuweisen. Der erste Nachweis gelang mit astronomischen Beobachtungen.
Astronomische Beobachtung (Ole Rømer 1676)
Wäre der Abstand zwischen Erde und Jupiter (B) konstant, so würde man die Verfinsterung eines Jupitermondes (C,D) durch den Schatten des Jupiter entsprechend der Mondumlaufzeit in regelmäßigen Abständen beobachten.
Da sich der Abstand aber gegenüber einer Beobachtung bei H nach einem halben Jahr um den Durchmesser der Erdbahn um die Sonne vergrößert (E), wird die Verfinsterung mit einer Verspätung wahrgenommen. Der Quotient von Erdbahndurchmesser und Verspätung ist die Lichtgeschwindigkeit (Rømer gab nur einen groben Schätzwert an, Huygens errechnete 1678 aus ungenauen Daten 212.000 km/s).
Aberration des Lichts (James Bradley 1725)
Die Zeit, die das Licht benötigt, um ein Teleskop zu durchlaufen, bewirkt mit
der Bewegung der Erde um die Sonne sowie die Erdrotation eine scheinbare
Richtungsänderung des Sternenlichts und hängt vom Winkel der Bewegung zur
Sternrichtung ab (1728 veröffentlichter Wert 301.000 km/s)
Zahnradmethode (Armand Fizeau 1849)
Ein Lichtstrahl durchquert eine Lücke zwischen den Zähnen eines schnell rotierenden Zahnrads und wird an einem
Spiegel (S2) reflektiert. Ob das Licht auf dem Rückweg eine Lücke findet oder nicht (Helligkeit oder Dunkelheit beim Beobachter B), hängt von der Geschwindigkeit des Zahnrads, dem Weg Ds und der Lichtgeschwindigkeit ab (Fizeaus Ergebnis: 315.000 km/s)
Drehspiegelmethode (Léon Foucault 1851) Ein Lichtstrahl wird von einem schnell rotierenden Dreh- spiegel, einem festen Spiegel (Justierspiegel 2) und wieder vom Drehspiegel reflektiert. Da sich der Drehspiegel
während es zweifachen Durchlaufs der Strecken L1, L2, L3 weitergedreht hat, wird der reflektierte Strahl abhängig von der Drehgeschwindigkeit und der Lichtgeschwindigkeit abgelenkt (Foucaults Ergebnis: 298.000 km/s)
Andere Methoden
- Messung der Wellenlänge von stehenden Radiowellen bekannter Frequenz in einem Hohlraumresonator (Heinrich Hertz 1888).
- Interferometrische Messung der Wellenlänge von Radiowellen bekannter Frequenz.
- Weg/Zeit eines Laserpulses (Versuch in der Vorlesung)
- Definition des Meter über die Sekunde und die Lichtgeschwindigkeit (299.792.458 m/s exakt)
Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault-Michelson
Justierspiegel 1 Justierspiegel 2
Laser Strahlteiler
Skala
FS-Kamera Drehspiegel
L = 3 m L = 7 m
f = 5 m L = 4 m
l = 5,4 m
l
l = 0,6 m 1
1 1
1 1
2
2
2
2 3
3
G = B ; g = b = 2 f = 10 m l + l + L = 10 m L + L = 10 m
f = 150 mm
Lichtleiter
Photomultiplier
zum Frequenzzähler
10 Nichtlineare Optik
Polarisation im Dielektrikum (bisher):
Nichtlineare Effekte, wenn man Anisotropie des Mediums ignoriert:
i
D
i E
V p
P
0 1
0 (1)E 0 (2)E2 0E3
P
Frequenzverdopplung und Frequenzmischung Quadratischer Term:
In einem Medium entsteht Licht der doppelten Frequenz (halben Wellenlänge) Mischung zweier Lichtwellen verschiedener Frequenz:
E E
t
t E
E
P w cos2w 2
cos 2
2 ) 0 2 ( 0 2 ) 0 2 ( 0 2
2 0 ) 2 ( 0 2 ) 2 ( 0 ) 2
(
t t
E E t E
E t E
E
t E
t E
t E
t E
t E
t E
E P
2 1 2
1 2
1 1
2 2 2
2 1
2 1 2 1 ) 2 ( 0
2 2 2 2 2
2 1 1
1 2 2 1 ) 2 ( 0
2 2 2
1 1
) 2 ( 0 2 ) 2 ( 0 ) 2 (
cos cos
2 2 cos
1 2
2 1 2 cos
1 2
1
cos cos
cos 2
cos
cos cos
w w w
w w
w
w w
w w
w w
Neben Licht der jeweils doppelten Frequenz entsteht auch Licht der Summen- und Differenzfrequenz.
Typische Intensitäten und Feldstärken Sonnenlicht 1 kW/m
2:
Laserlicht 10 mJ mit 50 fs Pulsdauer auf 30 mm x 30 mm fokussiert:
m 900V C
10 85 , 8 m/s 10 3
m V J/s 1000 2 2
2 1
12 8
0 2
2
0
E
c E I E
A c I P
m 10 V m 4
10 W 2 W
10
2 11 20 2 11
I E
P
Intensitätsabhängiger Brechungsindex Kubischer Term:
In einem Medium steigt der Brechungsindex mit der Intensität. In der Mitte eines Laserstrahls ist die Lichtgeschwindigkeit kleiner als an den Rändern, der Strahl wird fokussiert (Kerr-Linse).
I n n n
E I E
P(3) 0 (3) 3 0 (3) 0 2 2 1 1 2
1
Erzeugung hoher harmonischer Frequenzen
Wenn man intensive Laserpulse durch einen Gasjet schickt, entsteht Strahlung mit einem Spektrum, das aus ungeradzahligen Harmonischen (Vielfachen) der Grundfrequenz besteht. Mit zunehmender Harmonischenzahl nimmt die Intensität zunächst stark ab, erreicht dann ein Plateau und nimmt bei der sog. "cut-off"-Frequenz weiter ab. Die cut-off-Frequenz kann das 100-fache der Grundfrequenz übersteigen. Der Prozess heißt high-order harmonic generation (HHG) und kann im
halbklassischen "Corkum"-Modell verstanden werden:
Jede Halbwelle hoher Feldstärke verbiegt das Coulomb-Potenzial, so dass es den Elektronen leichter wird, das Atom, an das sie gebunden sind, zu verlassen ("tunneln"). Kehrt sich die Feldstärke um, werden die Elektronen auf das jeweilige Atom zurückgeschleudert und geben Strahlung ab. Die Fouriertransformierte der Strahlungspulse im Abstand einer halben Laserperiode ist ein Spektrum mit ungeraden Harmonischen.
Gasjet
Ultraviolett kurzer Laserpuls
