1 Die schnelle Fouriertransformation
Die Fouriertransformation ist ein fundamentales Verfahren in der Signalverarbeitung. Durch die Fouriertransformation lassen sich Signale von der Darstellung (Zeitpunkt, Abtastwert) in die Darstellung (Frequenzanteil, Amplitude, Phase) überführen. Viele Operationen, z.B.
Filter, lassen sich im Frequenzraum leichter durchführen. Anschließend wird das Signal mit der inversen Fouriertransformation wieder zurück transformiert.
1.1 Die Fourierreihe f¨ ur periodische Funktionen
Eine periodische Funktion ist, salopp gesprochen, eine Funktion die sich in bestimmten Zeitab- ständen wiederholt.
Ein Funktion g :R →Rist periodisch, falls es einT > 0 gibt mitg(T+t) =g(T), für alle t∈R. Man nennt
• T die Periode vonx,
• ω= 2π/T die Kreisfrequenz,
• f = 1/T die Frequenz von g.
Betrachtet man den VektorraumR3, so gibt kann man jeden Vektor durch die Basisvektoren
1 0 0
,
0 1 0
und
0 0 1
darstellen. Genauer gesagt, ist z.B.
v=
3 2 5
gegeben, so kann manv folgendermaßen schreiben:
v= 3
1 0 0
+ 2
0 1 0
+ 5
0 0 1
.
Dies kann man mit drei beliebigen Basisvektoren machen, sofern sie linear unabhängig sind.
Wenn die Basisvektoren erstens auf einander senkrecht stehen1und zweitens jeweils die Länge eins haben2, dann spricht man von einer orthonormalen Basis. Zum Beispiel kann man v
1Zwei Vektoren
u= u1
u2
u3
!
, and v= v1
v2
v3
!
stehen aufeinander senkrecht falls giltu·v=u1v1+u2v2+u3v3= 0.
2Die Länge eines Vektors
u= u1
u2
u3
!
ist definiert durch|u|=p
u21+u22+u23
mittels der Basisvektoren
√1 12
√2
0
,
−√12
√1
02
und
0 0 1
folgendermaßen schreiben v=
5
√2
√1 12
√2
0
− 1
√2
−√12
√1
02
+ 5
0 0 1
.
Eine wichtige Eigenschaft dieser Darstellung ist: Der Betrag von v errechnet sich aus den Koeffizienten der Basisvektoren „mit der üblichen Formel“. In unserem Beispiel ist
|v|=p
32+ 22+ 52=√
38 in der Standard-Basis
|v|= r52
2 +1
2+ 52=√
38 in der anderen Basis
So etwas ähnliches gilt auch für periodische Funktionen. Hier hat man statt Basisvektoren Basisfunktionen, und man hat nicht endlich viele Basisfunktionen, sondern unendlich viele.
Sei f : R → R eine periodische Funktion mit Periode T >0, das heißt, es gilt f(t+T) = f(t)∀t∈R. Wir definierenf im Intervall [−T2,T2] als3
f :
−T 2,T
2
→R,
und setztenf außerhalb [−T2,T2] in beiden Richtungen periodisch fort.
Dann kann manf durch das Funktionensystem
sin 2nπt
T
:n∈N
und
cos 2nπt
T
:n∈N
und der konstanten FunktionR∋t7→1 darstellen. Die Funktionenfamilie ist so etwas ähnliches wie die Basisvektoren inRd, nur für Funktionenräume. In den folgenden Bildern sehen Sie die Basisfunktionen für n= 1,2,3,7.
Das heißt, es gibt Größenbn undan,n∈N0, sodass gilt, f(t) = a0+b1 sin
2πt T
+b2 sin 4πt
T
+. . .
+a1 cos 2πt
T
+a2cos 4πt
T
+. . .
(1)
= a0+ X∞
n=1
bn sin
2nπt T
+an cos 2nπt
T
. (2)
Als erstes werden wir die Frage behandeln: wie kann man so eine Funktionen mit Hilfe dieses Funktionensystem darstellen? Dabei ist wichtig, dass die Funktionen in einen gewissen Sinne senkrecht aufeinander stehen, d.h.
Z T /2
−T /2
sin 2nπt
T
sin
2mπt T
dt=
(T
2 falls m=n,
0 falls m6=n, (3)
3Es ist prinzipiell egal, ob wir [−T2,T2] oder [0,T] oder irgend ein anderes Intervall der LängeT betrachten;
wir haben uns der Einfachheit halber das Intervall symmetrisch zum Ursprung ausgesucht.
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
erster Fourierkoeffizient (cosinus) auf [−1,1]
t
cosinus( t π)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
zweiter Fourierkoeffizient (cosinus) auf [−1,1]
t
cosinus(2 t π)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
dritter Fourierkoeffizient (cosinus) auf [−1,1]
t
cosinus(3 t π)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
siebter Fourierkoeffizient (cosinus) auf [−1,1]
t
cosinus(7 t π)
Abbildung 1: Die ersten Basisfunktion der Familie
cos nπtT
:n∈N . Z T /2
−T /2
cos 2nπt
T
cos
2mπt T
dt=
(T
2 falls m=n,
0 falls m6=n, (4)
und
Z T /2
−T /2
cos 2nπt
T
sin
2mπt T
dt= 0, für alle n,m∈N. (5) Nachrechnen kann man dies durch partielle Integration. Wegen der Einfachheit zeigen es wir am Intervall [−π,π] und fürn= 2 und einmal fürn= 2 undm= 3. Genau genommen haben wir
Z π
−π
cos(2t) cos(3t)dt = 1
2sin(2t) cos(2t)
π
−π
| {z }
=0
+3 2
Z π
−π
sin(2t) sin(3t)dt
= 1
2cos(2t) sin(3t)
π
−π
| {z }
=0
+9 4
Z π
−π
cos(2t) cos(3t)dt.
Daraus folgt
(1−9 4)
Z π
−π
cos(2t) cos(3t)dt= 0.
Setzt man n = m = 2 so nützt man aus dass einerseits gilt sin2(x) + cos2(x) = 1 und andererseits man durch Partielle Integration zeigen kann, dass gilt
Z π
−π
cos(2t) cos(2t)dt= Z π
−π
sin(2t) sin(2t)dt.
Damit gilt
Z π
−π
1dt= Z π
−π
cos(2t)2dt+ Z π
−π
sin(2t)2dt= 2 Z π
−π
cos(2t)2dt.
Daraus folgt
π= Z π
−π
cos(2t)2dt.
Angenommen, es gibt Koeffizienten bn und an, n ∈ N, sodass (1) gilt, dann muss man nur beide Seiten der Gleichung mit sin(kπt/T) multiplizieren und integrieren. Damit erhält man
Z T /2
−T /2
f(t) sin 2kπt
T
dt
= X∞
n=1
Z T /2
−T /2
bn sin 2nπt
T
sin 2kπt
T
dt
| {z }
=0fallsn6=kund =T /2fallsn=m
+ X∞
n=1
Z T /2
−T /2
an cos 2nπt
T
sin 2kπt
T
dt
| {z }
=0
= Z T /2
−T /2
bn sin 2kπt
T
sin 2kπt
T
dt=T 2 bk. Dass heißt es gilt
2 T
Z T /2
−T /2
f(t) sin 2kπt
T
dt=bk. In gleicher Weise folgt für die Koeffizientenan:
Z T /2
−T /2
f(t) cos 2kπt
T
dt
= X∞
n=1
Z T /2
−T /2
bk sin 2nπt
T
sin 2kπt
T
dt
| {z }
=0
+ X∞
n=1
Z T /2
−T /2
ak cos 2nπt
T
sin 2kπt
T
dt
| {z }
=0fallsn6=mund=T /2fallsn=k
= T
2 ak. Damit gilt
f(t) = b1 sin 2πt
T
+b2 sin
2×2πt T
+. . . +a1cos
2πt T
+a2cos
2×2πt T
+. . . (6)
mit
bk = 1 T
Z T /2
−T /2
f(t) sin 2kπt
T
dt, k≥1, (7)
und
ak = 1 T
Z T /2
−T /2
f(t) cos 2kπt
T
dt k≥1, (8)
mit der Ausnahme
a0 = 1 T
Z T /2
−T /2
f(t)dt. (9)
Beispiel 1: Die Fouriertransformierten einer Dreiecksfunktion f(t) =
(1 +2tT für −T2 ≤t≤0, 1−2tT für 0< t≤ T2.
Wir erinnern unsωk= 2πkT unda0=12 (Mittelwert). Wir wissen die Funktion ist gerade, d.h.
f(t) =f(−t). Damit fallen bei den die Fourierkoeffizienten die Terme die den Sinus enthalten weg. Für die Fourierkoeffizientenak,k∈Ngilt somit:
ak = 2 T
"Z 0
−T /2
1 +2t
T
cos 2πkt
T
dt+ Z T /2
0
1−2t
T
cos 2πkt
T
dt
#
= 2
T Z 0
−T /2
1 +2t
T
cos 2πkt
T
dt
| {z }
=0
+ 4 T2
Z 0
−T /2
tcos 2πkt
T
dt− 4 T2
Z T /2 0
tcos 2πkt
T
dt
= − 8 T2
Z T /2 0
tcos 2πkt
T
dt.
Im letzten Schritt verwenden wir Z
xcos(tx)dx= x
t sin(tx) + 1
t2cos(tx) und erhalten schließlich
ak =2(1−cos(πk))
π2k2 , k≥0,
und, daf gerade istbk= 0. Der Ausdruck für ak verdient noch einige Bemerkungen:
• Für alle geradenk verschwindetak.
• Für alle ungeradenkhaben wir ak = 4/(π2k2).
• Fürk= 0 bekommen wir bei der Formel furak den Mittelwert heraus.
Wir können also weiter vereinfachen und erhalten
ak=
1
2 für k= 0,
4
π2k2 für ungerade k, 0 für gerade k6= 0.
Die Reihenglieder nehmen zwar mit steigenden k rasch ab, aber prinzipiell haben wir eine unendliche Reihe. Das liegt an dem spitzen Dach bei t = 0 und an den Knick (periodische Fortsetzung) bei t=±T /2 unserer Funktionf(t). Um diese Knicke zu beschreiben brauchen wir unendlich viele Fourierkoeffizienten. Andererseits kann man mittels den ersten Fourierko- effizienten die Figur schon recht gut annähern, was die folgende Bildreihe illustrieren soll:
Mitω= 2π/T erhalten wir f(t) =1
2 + 4 π2
cosωt+1
9cos 3ωt+ 1
25cos 5ωt+· · ·
,
und
−1 −0.5 0 0.5 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Original
t
f(t)
f(t) =
(1 + 2tT für −T2 ≤t≤0, 1−2tT für 0< t≤ T2.
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.5 0 0.5 1 1.5
0−te Näherung
t
t 7→ 1 2
−1 −0.5 0 0.5 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1−te Näherung
t
t 7→ 1 2 + 4
π2cos(πt);
−1 −0.5 0 0.5 1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2−te Näherung
t
t 7→ 1 2 + 4
π2 cos(πt) + 4
9π2cos(3πt)
;
−1 −0.5 0 0.5 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
3−te Näherung
t
t 7→ 1 2+ 4
π2 cos(πt) +1
9cos(3πt) + 1
25cos(3πt)
;
−1 −0.5 0 0.5 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
4−te Näherung
t
t 7→ 1 2+ 4
π2 cos(πt) +1
9cos(3πt) + 1
25cos(5πt) + 1
49cos(7πt)
;
−0.5 0 0.5
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05 0
a0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5 −0.5 0 0.5
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05 0
a0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5 −0.5 0 0.5
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05 0
a0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5
−0.5 0 0.5
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05 0
a0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5 −0.5 0 0.5
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05 0
a0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5 −0.5 0 0.5
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05 0
a0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5
Abbildung 2: Approximation der Funktiont7→t2−0.52mittels der Fourierreihe
Diese Reihenentwicklung kann man auch beimNten Glied abbrechen. Im allgemeinen gilt, je höherN desto besser approximiert
fapp(t) = XN
n=1
bk sin 2kπt
T
+ XN
n=1
ak cos 2kπt
T
die ursprüngliche Funktion f. Dabei gilt, je glatter die Funktion ist, desto besser wird die Funktion approximiert. Diese Entwicklung wollen wir Anhand folgender Bildreihen erklären.
Beispiel 2: Sei dazuf(t) =t2−0.52. Im ersten Bild sehen Sie die Funktion und die Näherung fürN = 1,2,3,5,10 und 20.
1.2 Gibbssches Ph¨ anomen
Approximert man mittels einer Fourierreihe eine unstetige, periodische Funktion, wie bei- spielsweise die unten dargestellte Rechteckfunktion, so ergibt sich an den Unstetigkeitsstellen typische Über- und Unterschwinger, die sich auch dann nicht verringern, wenn man versucht, die Funktion durch weitere Summenglieder anzunähern. Dabei ist erkennbar, dass zwar die Frequenz der Überschwingung zunimmt und die Dauer abnimmt, die maximale Auslenkung der Überschwingung kurz vor bzw. nach der Sprungstelle bleibt aber konstant.
Im dieser Bilderreihe sehen Sie die Approximation folgender Funktion f : [−1,1 ] → R
t 7→
(1 falls −1/7≤x≤1/7, 0 sonst.
mittels der Fourierreihe. Das Gibb’sche Phänomen ist recht schön an den Unstetigkeitsstellen zu erkennen. Allgemein kann man sagen, je öfters man eine Funktion differenzieren kann (oder
−1 −0.5 0 0.5 1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t Näherung bis zum zweiten Mode
Approximation Exakte Funktion
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t Näherung bis zum fünften Mode
Approximation Exakte Funktion
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t Näherung bis zum zehnten Mode
Approximation Exakte Funktion
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t Näherung bis zum zwanzigsten Mode
Approximation Exakte Funktion
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t Näherung bis zum vierzigsten Mode
Approximation Exakte Funktion
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t Näherung bis zum achsigsten Mode
Approximation Exakte Funktion
Abbildung 3: Approximation der Funktionf mittels der Fourierreihe
glatter ist), desto besser konvergiert die Fourierreihe.
Aufgabe Berechnen Sie die Fouriertransformierte für folgende Funktion (T = 4):
f(t) =
(t+ 1), falls −1≤t≤0, 1−t, falls 0< t≤1,
0, sonst.
Aufgabe Berechnen Sie die Fouriertransformierte für folgende Funktion (T = 4):
f(t) =t2−1, t∈[−2,2].
1.3 Die Fourierreihe in komplexer Schreibweise
Zu Beginn dieses Kapitels noch eine kleine Warnung: in (6) lauftk von 0 an, d.h., wir lassen keine negativen Frequenzen in der Fourierreihe zu. Für die Kosinus-Terme waren negative Frequenzen kein Problem. Das Vorzeichen des Arguments im Kosinus wirkt sich ohnehin nicht aus, und wir könnten z.B. die spektrale Intensität bei der positiven Frequenz ωk = 2kπT zu gleichen Teilen, auf −ωk =−2kπT und ωk verteilen. Da bis auf die Frequenzω = 0 — sonst eine Frequenz so gut wie jede andere — keine zugörige Frequenz hat, bleibt sie ungeteilt. Bei den Sinus-Termen würde ein Vorzeichenwechsel im Argument auch einen Vorzeichenwechsel beim zugehörigen Reihenterm bewirken. Das gerechte Aufteilen der spektralen Intensität zu gleichen Teilen auf−ωk und +ωk muß hier also anders erfolgen: der zugehörige Wert bei−ωk
bekommt auch 1/2, aber minus!
Anstatt (6) könnten wir also auch schreiben:
f(t) = X
k≥1
a′kcos(ωkt) +a′−kcos(−ωkt) +b′ksin(ωkt) +b′−ksin(−ωkt) +a0,
wobei natürlich gilt: a′k =a′−k =ak/2, b′k =−b′−k =bk/2. Die Formeln zur Berechnung der ak und bk fürk > 0 sind identisch mit (8) und (7), aber ohne den Extrafaktor 2! Gleichung (9) füra0 bleibt davon unberührt.
Jetzt sind wir reif für die Einführung der komplexen Schreibweise. Im folgenden wird stets angenommen, dassf(t) eine reelle Funktion ist. Die Verallgemeinerung für komplexef(t) ist unproblematisch. Unser wichtigstes Hilfsmittel ist die Eulersche Identität:
eiαt = cosαt+isinαt. (10)
Damit lassen sich die trigonometrischen Funktionen darstellen als:
cosαt= 1
2 eiαt+e−iαt und
sinαt= 1
2i eiαt−e−iαt . Aus (6) erhalten wir durch Einsetzen:
f(t) = a0+a1−ib1
2 eiω1t+a1+ib1
2 e−iω1t +a2−ib2
2 eiω2t+a2+ib2
2 e−iω2t+. . .
= a0+ X∞
k=1
ak−ibk
2 eiωkt+ak+ibk
2 e−iωkt
.
f(t) = a0+ X∞
k=−∞
ckeiωkt, ωk =2πk
T . (11)
Achtung: Für k < 0 ergeben sich negative Frequenzen. (Nach unserem Exkurs von vorhin kein Problem!) Praktischerweise gilt, dassck undc−k konjugiert komplex zueinander sind (vgl.
Bruder und Schwester ). Die Berechnung vonck läßt sich nun ebenso einfach formulieren:
ck = 1 T
Z T /2
−T /2
f(t)e−iωktdt für k= 0,±1,±2, . . . .
1.4 Die diskrete Fouriertransformierte
Die diskrete Fouriertransform (DFT) ist fast jeden bekannt. Man braucht nur auf eines der bunte blinkenden Autoradiodisplays zu schauen oder Winamp zu starten, und schon bekommt man das Ergebnis einer DFT angezeigt. Bei Winamp ist es z.B. die flackernde Balkengrafik (im Bild über dem Wort WHIPPIN).
In der Praxis ist man oft mit dem Problem konfrontiert, dass die Funktion nicht als Funktion gegeben ist, sondern nur den Wert der Funktion an bestimmten Stellen. Sei nunf : [−π,π]→R eine Funktion, π = {−π = t0 < t1 < . . . < tN−1 =π} eine Partition des Intervalls [−π,π]
und f = (f0, . . . ,fN−1) die Funktionswerte der Funktion auf der Partition. Mathematisch als fj=f(tj).
Nach vorher gilt ja für die Fourierkoeffizienten ck = 1
T Z T /2
−T /2
f(t)e−iωktdt
Approximiert man das Integral durch eine Summe kann man ck durch die folgende Summe annähern:
ck ∼ fˆ(k) :=
XN
j=1
e−2Niπ(j−1)(k−1)f(tj).
Umgekehrt erhält man für die inverse Fouriertransform f(tj) ∼ f(j) := 1
N XN
k=1
e2Niπ(j−1)(k−1)fˆ(k).
Setzt man ωN =e−2Niπ, so kann man auch ck ∼ fˆ(k) :=
XN
j=1
ωN(j−1)(k−1)f(tj).
und für die inverse Fouriertransformierte f(tj) ∼ f(j) := 1
N XN
k=1
ω−N(j−1)(k−1)fˆ(k).
schreiben.
1.5 Die schnelle Fouriertransformierte
Die schnelle Fourier-Transformation (englisch fast Fourier transform, daher meist FFT abge- kürzt) ist ein Algorithmus zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation.
Das bekannteste Verfahren wird James Cooley und John W. Tukey zugeschrieben, die es 1965 veröffentlichten. Genau genommen wurde eine Form des Algorithmus bereits 1805 von Carl Friedrich Gauß entworfen, der ihn zur Berechnung der Flugbahnen der Asteroiden Pallas und Juno verwendete. Seitdem wurde er von verschiedenen Leuten verbessert. Wir werden hier nicht in Details des Algorithmen eingehen,MATLABberechnet mittels den Befehlfft dieFast Fourier Transformund mittels den BefehlifftdieInverse. Im 2–dimensionalen verwendet man f tt2 und if f t2. Das Verfahren der schnellen Fouriertransformation hat eine Zeitkomplexität von O(nlog(n)).
Im ersten Bild sehen Sie die Funktion und die 17 Abtastpunkte. Im nächsten Bild sehen Sie das Spektrum, im letzten Bild sehen Sie die Funktion errechnet aus der FFT mit Hilfe des Befehles ifft. Danach das gleich mit 51 und 171 Abtastpunkte. Die Gleichung der Kurve lautet
f(x) = 0.3 exp(−0.9t) (sin(10πt) + cos(0.2πt)−sin(5πt)).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
Sine Wave Signal
Time (s)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 5 10 15 20 25 30 35
Power Spectrum of a Sine Wave
Frequency (Hz)
Power
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6
The inverse Fourier Signal
Time (s)
Amplitude
Abbildung 4: Approximation der Funktion mittels der FFT (17 Datenpunkte)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
Sine Wave Signal
Time (s)
Amplitude
0 5 10 15 20 25 30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Power Spectrum of a Sine Wave
Frequency (Hz)
Power
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
The inverse Fourier Signal
Time (s)
Amplitude
Abbildung 5: Approximation der Funktion mittels der FFT (171 Datenpunkte)
Aliasing Als Alias-Effekte (auch Aliasing-Effekte oder kurz Aliasing) werden im Bereich der Signalanalyse Fehler bezeichnet, die auftreten, wenn im abzutastenden Signal Frequenzanteile vorkommen, die höher als die halbe Abtastfrequenz sind, oder, mit anderen Worten, ein Signal in zu großen Abständen abgetastet wurde. Früher bei alten Filmen ist es passiert das ein Rad plötzlich rückwärts gelaufen ist statt vorwärts. Das kann man auch als Aliasing Effekt bezeichnen.
In der nächsten Bildreihe ist der Aliasing Effekt an einen Beispiel illustriert.
1.6 Anwendungen der Fouriertransformation
Die Fouriertransfomation bzw. verwandte Transformationen werden in z.B. Signalerkennung eingesetzt. Da geht es um die Fragestellung, kann man aus dem Geräusch das eine Maschine macht erkennen ob die Maschine kaputt ist, bzw. welche Bauteil kaputt ist. Ein weiteres Gebiet ist die z.B. Spracherkennung.
Ein weiteres Anwendungsgebiet der Fouriertransformation ist die Datenkompression. Speichert man ein analoges Signal (Musik) digital ab. so kommt man auf ein hohes Datenvolumen.
Zerlegt man dieses Signal in seine Frequenz-Anteile und speichert diese ab, kann man das Datenvolumen auf die Hälfte oder noch mehr komprimieren. Beispiel ist das JPEG-Format (wavelets), Telefonie (Frequenzen die für uns nicht hörbar sind werden herausgefiltert).
Wir gehen aber hier nicht darauf ein, sondern stellen nur kurz als mögliches Anwendungsgebiet die Rauschunterdrückung vor.
Rauschunterdrückung eines Signal - Denoising Was passiert eigentlich mit Rauschen, das sich zufällig im Eingangssigal befindet? (Und in der realen Welt wird immer etwas Rauschen vorhanden sein.) Da das Rauschen keine konkrete Frequenz hat, werden sich die Rauschanteile
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
Sine Wave Signal
Time (s)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 50 100 150 200 250 300
Power Spectrum of a Sine Wave
Frequency (Hz)
Power
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
The inverse Fourier Signal
Time (s)
Amplitude
Abbildung 6: Approximation der Funktion mittels der FFT (171 Datenpunkte)
0 2 4 6 8 10
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
2 Urspruengliche Kurve
t
eigentliche Kurve Abtastpunkte
0 2 4 6 8 10
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
2 Approximation
t
Approximation ifft
0 2 4 6 8 10
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
2 Approximation und exakte Kurve
t
Exakte Kurve Approximation Abtastpunkte
Abbildung 7: Der Aliasing Effekt
der Eingangssamples an keinem Ausgang aufaddieren. die Rauscheingangsleistung wird über alle Ausgänge verteilt werden. Das weiße Rauschen hat eine konstante Spektraldichte - wendet man die FFT an, so addiert es sich gleichmässig über aller Frequenzen auf. Das hat interessante Konsequenzen: Stellen wir uns ein Eingangssignal vor, das aus einem 2kHzSinus besteht, der mit einem 10-fach stärkerem Rauschen gemischt ist. Auf einem Oszilloskop würde man den Sinus nicht mehr im Rauschen erkennen können. Nun digitalisieren wir das analoge, verrauschte Signal und berechnen die FFT. Was sehen wir? Alle Koeffizienten sind in etwa ein gleich stark.
Es entspricht der Stärke des Rauschens in jedem Sample der Daten.
Einige Bilder zur Illustration (Abbildungen 8 und 9);
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−5 0 5
Time (s)
Amplitude
0 5 10 15 20
0 2 4 6
Frequency (Hz)
Amplitude bin da
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−5 0 5
Time (s)
Amplitude
0 5 10 15 20
0 2 4 6
Frequency (Hz)
Amplitude
Abbildung 8: Original und verrauschtes Signal
−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
−6
−4
−2 0 2 4 6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−5 0 5
Time (s)
Amplitude
0 5 10 15 20
0 2 4 6
Frequency (Hz)
Amplitude
Abbildung 9: Spektrum in der komplexen Ebene - entrauschtes Signal
In Abbildung 10 sehen Sie ein verrauschtes Bild und in Abbildung 11 das gereinigtes Bild und die Amplituden der Fouriertransformierten beider Bilder.
Abbildung 10: Original Bild und gereinigtes Bild
1.7 Andere orthogonale Funktion
1.7.1
Die Legrende-Polynome
Die Legrende Polynome sind orthonormal über dem Interval [−1,1], d.h.
Z 1
−1
pj(x)pk(x)dx=δj,k.
Die Legendre-Polynome sind nach Adrien-Marie Legendre genannt. Sie sind die partikulären Lösungen der legendreschen Differentialgleichung. Eine wichtige Rolle spielen die Legendre- Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Elektrodynamik und in der Quan- tenmechanik und im Bereich der Filtertechnik bei den Legendre-Filtern.
Abbildung 11: Das Fourier Spektrum beider Bilder
Die ersten Legendre-Polynome lauten:
P0(x) = 1 P1(x) =x P2(x) = 1
2(3x2−1) P3(x) = 1
2(5x3−3x) P4(x) = 1
8(35x4−30x2+ 3) P5(x) = 1
8(63x5−70x3+ 15x) P6(x) = 1
16(231x6−315x4+ 105x2−5) 1.7.2 Die Laguerre-Polynome
Diese Polynome sind benannt nach Edmond Laguerre und sind die Lösungen der Laguer- re’schen Differentialgleichung
x y′′(x) + (1−x)y′(x) +ny(x) = 0 n= 0,1, . . . Dasn-te Laguerre-Polynom lässt sich über die Rodrigues-Formel
Ln(x) := ex n!
dn
dxn(xne−x)
darstellen. Es handelt sich dabei um ein Polynom vom Grad n. Über die ersten Laguerre- Polynome
L0(x) = 1L1(x) =−x+ 1L2(x) = 1
2(x2−4x+ 2)L3(x) =1
6(−x3+ 9x2−18x+ 6) Für die Laguerre Polynome gilt
Z ∞
0
e−xLj(x)Lk(x)dx=δj,k.
