Zusammenh¨ange zwischen Fourierreihe und Fouriertransformation

Zusammenh¨ ange zwischen Fourierreihe und Fouriertransformation

Jakob Hruby

October 2, 2012

Contents

1 Grundlagen 3

2 Fortsetzung der Fouriertransformation 5

3 Poissonsche Summenformel 14

4 Quellen 17

1 Grundlagen

Wir besch¨aftigen uns zun¨achst mit einigen Definitionen, die wir im Weiteren verwenden werden.

Definition 1.1. F¨ur 1 ≤p≤ ∞ bezeichnen wir L^p(R) ={f :R→C|f messbar,

Z

R

|f(x)|^pdx <+∞}

als den Raum aller p-fach intergrierbaren Funktionen oder auch als L^p - Raum.

Insbesondere verwenden wir im Folgenden die R¨aume L¹(R) und L²(R).

Definition 1.2. Mit

C₀(R) = {f :R→C|f stetig, f(x)→0 f¨ur |x| → ∞}

bezeichnen wir den Raum aller stetigen, im Unendlichen verschwindenten Funktionen.

Ahnlich definieren wir den Raum aller stetigen Funktionen mit kompaktem¨ Tr¨ager als

C₀₀(R) ={f :R →C|f stetig, suppf ist kompakt}

Definition 1.3. Sei (H,h., .i) ein Skalarproduktraum und sei x∈ H.

Ist (e_n)n∈Z ein Orthonormalsystem in H, so bezeichnet man

∞

P

n=−∞

hx, e_nie_n als Fourierreihe vonx.

Bemerkung 1.4. Ist (H,h., .i) ein Hilbertraum und (e_n)n∈Z eine Orthonor- malbasis von H, so konvergiert die Fourierreihe immer gegen x.

Satz 1.5. SeiHein Skalarproduktraum und (e_n)n∈Z ein Orthonormalsystem.

(e_n)n∈Z ist genau dann eine Orthonormalbasis von H, wenn die parsevalsche Gleichung

kxk²_H =hx, xi=

∞

X

n=−∞

|hx, e_ni|²

f¨ur alle x∈ H erf¨ullt ist.

Beweis. siehe z.B (V), Kapitel 3, Satz 3.3.4

Definition 1.6. F¨urf ∈L₁(R) ist ihre Fouriertransformierte ˆf definiert als fˆ(x) :=

∞

Z

−∞

f(t)e^−ixtdt f¨ur x∈R

F¨ur f ∈L₁(R) ist ihre inverse Fouriertransformierte ˇf definiert als fˇ(t) := 1

2π

∞

Z

−∞

f(t)e^−ixtdt f¨ur t∈R

Satz 1.7. Sei f ∈L¹(R), so gilt fˆ∈C₀(R) mit kfkˆ ∞ ≤ kfk₁ Beweis. siehe z.B (IV), Kapitel 14, Proposition 14.1.2

2 Die Fouriertransformation auf C

(R) und ihre Fortsetzung auf L

(R)

Satz 2.1. Ist f ∈C₀₀² (R), so gilt:

(1) fˆ∈L¹(R)∩L²(R) (2) kfˆk₂ =√

2πkfk₂

(3) fˇˆ(t) =f(t) f¨ur alle t ∈R

Beweis. Wegenf ∈C₀₀² (R) gibt es ein M ≥0 mitf(t) = 0 f¨ur|t| ≥M , also

kfk₁ =

M

Z

−M

|f(t)|dt <+∞ ,kf⁰k₁ =

M

Z

−M

|f⁰(t)|dt <+∞,

und kf⁰⁰k₁ =

M

Z

−M

|f⁰⁰(t)|dt <+∞

und somit existiert die Fouriertransformierte und stellt sich folgendermaßen dar:

fˆ(x) :=

∞

Z

−∞

f(t)e^−itxdt=

M

Z

−M

f(t)e^−itxdt

Mittels partieller Integration sieht man f¨urx6= 0

fˆ(x) =

M

Z

−M

f(t)e^−itxdt

p.I.= (?)

=

−1

ixf(t)e^−itx

M

x=−M

+ 1 ix

M

Z

−M

f⁰(t)e^−itxdt

p.I.=

=

− 1 x²

M

Z

−M

f⁰⁰(t)e^−itxdt

≤

≤

1 x²

M

Z

−M

|f⁰⁰(t)|

e^−itx

dt = 1

x² kf⁰⁰k₁

Nun folgt weiter f¨ur ein beliebiges k > 0, weil die Fouriertransformierte ˆf stetig (Satz 1.7) und deshalb auf [−k, k] integrierbar ist,

Z

R\[−k,k]

f(x)ˆ dt≤

Z

R\[−k,k]

1

x² kf⁰⁰k₁dt Z

R

f(x)ˆ dt≤

Z

R\[−k,k]

1

x² kf⁰⁰k₁dt+ Z

[−k,k]

fˆ(x)

dt <+∞

und Z

R\[−k,k]

fˆ(x)

2

dt≤ Z

R\[−k,k]

1

x⁴ kf⁰⁰k²₁dt Z

R

fˆ(x)

2

dt≤ Z

R\[−k,k]

1

x⁴ kf⁰⁰k²₁dt+ Z

[−k,k]

fˆ(x)

2

dt <+∞,

also insgesamt ˆf ∈L¹(R)∩L²(R).

B_n(t) := ^√1

2Ne^inπtN , n ∈ Z ist eine Orthogonalbasis f¨ur L²([−N, N]), N ∈ R.

In dieser l¨asst sich f|[−N,N] ∈L²([−N, N]) als Fourierreihe darstellen, wobei die Reihe imL²-Sinne konvergiert:

f|[−N,N](t) =

∞

X

n=−∞

hf, B_niB_n(t) =

∞

X

n=−∞

N

Z

−N

f(s) 1

√2Ne^−inπsN ds 1

√2Ne^inπtN =

= 1 2N

∞

X

n=−∞

fˆ nπ

N

e^inπtN

Wegen

∞

X

n=−∞

1 2N

fˆnπ N

e^inπtN

=

∞

X

n=−∞

1 2N

fˆnπ N

≤

≤

−1

X

n=−∞

1 2N

N²

n²π²kf⁰⁰k₁+ 1 2N

f(0)ˆ +

∞

X

n=1

1 2N

N²

n²π² kf⁰⁰k₁ <∞ liefert das Weierstraß-Kriteriums (vgl. z.B (II), Korollar 6.7.4) die gle- ichm¨aßige Konvergenz der Funktionenreihe

∞

P

n=−∞

1

2Nfˆ ^nπ_N

e^inπtN gegen eine

Funktion g.

Da das Intervall [−N, N] endliche L¨ange hat, folgt aus der gleichm¨aßigen Konvergenz gegen g die L²-Konvergenz gegen g. Also muss g = f|[−N,N]

gelten.

Des Weiteren gilt f¨ur die Norm laut Satz 1.5 kf|_[−N,N]k²₂ = 1

2N

∞

X

n=−∞

fˆnπ N

2

F¨ur X >1, so gew¨ahlt, dass XN > π betrachten wie nun

f(t)− 1 2π

∞

Z

−∞

f(x)eˆ ^ixtdx

= (1)

=

1 2N

∞

X

n=−∞

fˆ nπ

N

e^inπtN − 1 2π

∞

Z

−∞

fˆ(x)e^ixtdx

≤

≤

1 2N

X

nπ N>X

n∈Z

fˆnπ N

e^inπtN − 1 2π

∞

Z

X

fˆ(x)e^ixtdx

+

+

1 2N

X

nπ N<−X

n∈Z

fˆ nπ

N

e^inπtN − 1 2π

−X

Z

−∞

fˆ(x)e^ixtdx

+

+

1 2N

X

|^nπ_N|^≤X

n∈Z

fˆnπ N

e^inπtN − 1 2π

X

Z

−X

fˆ(x)e^ixtdx .

Aus (?), der Dreiecksungleichung und wegen

∞

Z

Y

1

(x−1)² dx=

Y˜

Z

Y

1

(x−1)² dx+X

k∈Z k>Y

k+1

Z

k

1

(x−1)² dx≥

≥X

k∈Z k>Y

k+1

Z

k

1

(x−1)² dx ≥X

k∈Z k>Y

k+1

Z

k

1

(k+ 1−1)² dx=X

k∈Z k>Y

1 k²

f¨ur Y >1, wobei ˜Y die kleinste Zahl p∈N mit p > Y bezeichnet, folgt mit Y = ^XN_π

1 2N

X

nπ N>X

n∈Z

fˆ nπ

N

e^inπtN

≤ 1 2N

X

nπ N>X

n∈Z

1

n²π² N²

kf⁰⁰k₁ ≤ (2)

≤ N

2π² kf⁰⁰k₁

∞

Z

XN π

1

(m−1)² dm= 1 2π

N

XN −πkf⁰⁰k₁

und wegen

−Y

Z

−∞

1

(x+ 1)² dx=

−Y

Z

−Y˜

1

(x+ 1)² dx+ X

k∈Z k<−Y

k

Z

k−1

1

(x+ 1)² dx≥

≥ X

k∈Z k<−Y

k

Z

k−1

1

(x+ 1)² dx≥ X

k∈Z k<−Y

k

Z

k−1

1

(k−1 + 1)² dx= X

k∈Z k<−Y

1 k²

f¨ur Y und ˜Y wie oben folgt mit Y = ^XN_π

1 2N

X

nπ N<−X

n∈Z

fˆnπ N

e^inπtN

≤ 1 2N

X

nπ N<−X

n∈Z

1

n²π² N²

kf⁰⁰k₁ ≤ (3)

≤ N

2π² kf⁰⁰k₁

−^XN

Zπ

−∞

1

(m+ 1)² dm= 1 2π

N

XN−π kf⁰⁰k₁.

Außerdem folgt aus der Dreiecksungleichung und aus (?)

1 2π

∞

Z

X

f(x)eˆ ^ixtdx

≤ 1 2π

∞

Z

X

1

x² kf⁰⁰k₁ dx= 1

2πX kf⁰⁰k₁ (4) sowie

1 2π

−X

Z

−∞

fˆ(x)e^ixtdx

≤ 1 2π

−X

Z

−∞

1

x² kf⁰⁰k₁ dx= 1

2πX kf⁰⁰k₁. (5)

Setzt man nunx_n = ^nπ_N , ∆x=x_n+1−x_n= _N^π undl =b^XN_π c, die gr¨oßte Zahl q∈N mit q≤ ^XN_π , so gilt

1 2N

X

|^nπN|^≤X

n∈Z

fˆnπ N

e^inπtN = 1 2π

l

X

n=−l

fˆ(x_n)e^ixnt∆x.

F¨ur das Intervall [−X, X] definiere die Partitiony−l−1 =−X, y−l =x−l, . . . , y_l = x_l, y_l+1 =X.

Wegen|x_l−X|< _N^π konvergiert x_l gegen X und x−l gegen −X f¨urN → ∞ und es gilt

N→∞lim

1 2π

l

X

n=−l

fˆ(x_n)e^ixnt∆x− 1 2π

l

X

n=−l−1

fˆ(y_n)e^iynt(y_n+1−y_n)

=

= lim

N→∞

1 2π

l−1

X

n=−l

f(xˆ _n)e^ixnt∆x−f(yˆ _n)e^iynt(y_n+1−y_n) + + ˆf(x_l)e^ixltπ

N −f(−X)eˆ ^−iXt(y−l+X)−fˆ(y_l)e^iylt(X−y_l) =

= lim

N→∞

1 2π

f(xˆ _l)e^ixltπ

N +x_l−X

−f(−X)eˆ ^−iXt(x−l+X) =

= 1 2π

f( limˆ

N→∞x_l)e^{ilimN→∞xlt}

N→∞lim π

N + lim

N→∞x_l−X

−

−fˆ(−X)e^−iXt( lim

N→∞x−l+X) =

= 1 2π

f(X)eˆ ^iXt(X−X)−f(−X)eˆ ^−iXt(−X+X) = 0,

wobei wir ausn¨utzen, dass alle beteiligten Funktionen stetig sind.

Somit l¨asst sich _2π¹

l

P

n=−l

f(xˆ _n)e^ixnt∆xf¨urN → ∞durch eine Riemann-Summe ersetzen was zeigt, dass

Nlim→∞

1 2π

l

X

n=−l

fˆ(x_n)e^ixnt∆x= 1 2π

X

Z

−X

fˆ(x)e^ixtdx (6)

gilt.

Aus (2),(3),(4),(5) und (6) folgt nun f¨ur (1) beim Grenz¨ubergangN →+∞

lim

N→+∞

f(t)− 1 2π

∞

Z

−∞

f(x)eˆ ^ixtdx

≤

≤ lim

N→+∞2 1

2π N

XN −πkf⁰⁰k₁+ 1

2πX kf⁰⁰k₁

+

+ lim

N→+∞

1 2N

X

|^nπN|^≤X

n∈Z

fˆnπ N

e^inπtN − 1 2π

X

Z

−X

fˆ(x)e^ixtdx

=

= 2kf⁰⁰k₁ πX

F¨ur > 0 gibt es nun ein X₀, sodass f¨ur alle X > X₀ : ^2kf_πX^00k1 < womit ˇˆ

f(t) = f(t) f¨ur allet ∈R gilt.

Umkfˆk2 =√

2πkfk2 zu zeigen, betrachten wir

2πkfk²₂− fˆ

2 2

= (7)

=

2π 2N

∞

X

n=−∞

fˆnπ N

2

−

∞

Z

−∞

fˆ(x)

2

dx

≤

≤

2π 2N

X

nπ N>X

n∈Z

fˆnπ N

2

−

∞

Z

X

fˆ(x)

2

dx

+

+

2π 2N

X

nπ N<−X

n∈Z

fˆnπ N

2

−

−X

Z

−∞

fˆ(x)

2

dx

+

+

2π 2N

X

|^nπN|^<X

n∈Z

fˆnπ N

2−

X

Z

−X

fˆ(x)

2

dx .

Aus (?), der Dreiecksungleichung und wegen

∞

Z

Y

1

(x−1)⁴ dx=

Y˜

Z

Y

1

(x−1)⁴ dx+X

k∈Z k>Y

k+1

Z

k

1

(x−1)⁴ dx ≥

≥X

k∈Z k>Y

k+1

Z

k

1

(x−1)⁴ dx≥X

k∈Z k>Y

k+1

Z

k

1

(k+ 1−1)⁴ dx=X

k∈Z k>Y

1 k⁴

f¨ur Y > 1, wobei ˜Y wieder die kleinste Zahl p ∈ N mit p > Y bezeichnet, folgt mit Y = ^XN_π

2π 2N

X

nπ N>X

n∈Z

fˆnπ N

2

≤ 2π 2N

X

nπ N>X

n∈Z

1

n⁴π⁴ N⁴

kf⁰⁰k²₁ ≤ (8)

≤ 2N³ 2π³ kf⁰⁰k²₁

∞

Z

XN π

1

(m−1)⁴ dm = 2N³

6π³(^XN_π −1)³ kf⁰⁰k²₁ und wegen

−Y

Z

−∞

1

(x+ 1)⁴ dx=

−Y

Z

−Y˜

1

(x+ 1)⁴ dx+ X

k∈Z k<−Y

k

Z

k−1

1

(x+ 1)⁴ dx≥

≥ X

k∈Z k<−Y

k

Z

k−1

1

(x+ 1)⁴ dx≥ X

k∈Z k<−Y

k

Z

k−1

1

(k−1 + 1)⁴ dx= X

k∈Z k<−Y

1 k⁴

f¨ur Y und ˜Y wie oben folgt mit Y = ^XN_π 2π

2N X

nπ N<−X

n∈Z

fˆnπ N

2

≤ 2π 2N

X

nπ N<−X

n∈Z

1

n⁴π⁴ N⁴

kf⁰⁰k²₁ ≤ (9)

≤ 2N³ 2π³ kf⁰⁰k²₁

−^XN_π

Z

−∞

1

(m+ 1)⁴ dm = 2N³

6π³(^XN_π −1)³ kf⁰⁰k²₁ Außerdem folgt aus der Dreiecksungleichung und aus (?)

∞

Z

X

fˆ(x)

2

dx≤

∞

Z

X

1

x⁴ kf⁰⁰k²₁ dx= 1

3πX³ kf⁰⁰k²₁ (10)

sowie

−X

Z

−∞

f(x)ˆ

2

dx≤

−X

Z

−∞

1

x⁴ kf⁰⁰k²₁ dx= 1

3πX³ kf⁰⁰k²₁ (11)

Wie oben kommt man durch x_n = ^nπ_N, ∆x=x_n+1−x_n = _N^π und l =b^XN_π c, was wieder die gr¨oßte Zahlq ∈Nmitq ≤ ^XN_π bezeichnet, und dem ¨Ubergang zur Partition y_−l−1 = −X, y_−l = x_−l, . . . , y_l = x_l, y_l+1 = X von [−X, X] zu einer Riemann-Summel:

N→+∞lim

2π 2N

X

|^nπ_N|^≤X

n∈Z

fˆnπ N

2

−

l

X

n=−l−1

fˆ(y_n)

2

(y_n+1−y_n)

=

= lim

N→+∞

l

X

n=−l

f(xˆ _n)

2

∆x−

l

X

n=−l−1

f(yˆ _n)

2

(y_n+1−y_n)

=

= lim

N→+∞

l−1

X

n=−l

π N

fˆ(x_n)

2

−

fˆ(y_n)

2 + + π

N

f(xˆ _l)

2

−

f(−X)ˆ

2

(y−l+X)−

fˆ(y_l)

2

(X−y_l)

=

=

N→+∞lim π N

fˆ

N→+∞lim xl

2

−

fˆ(−X)

2

Nlim→+∞x−l+X

−

− fˆ

lim

N→+∞x_l

2

X− lim

N→+∞x_l

= 0

und schließlich zum Riemann-Integral

Nlim→∞

l

X

n=−l

fˆ(x_n)

2

∆x=

X

Z

−X

f(x)ˆ

2

dx. (12)

Insgesamt folgt nun f¨urN →+∞

2πkfk²₂− fˆ

2 2

≤

≤ lim

N→+∞2 2N³

6π³(^XN_π −1)³ kf⁰⁰k²₁+ 1

3πX³kf⁰⁰k²₁

! +

+ lim

N→+∞

2π 2N

X

|^nπN|^≤X

n∈Z

fˆnπ N

2−

X

Z

−X

fˆ(x)

2

dx

=

= 2kf⁰⁰k²₁ 3X³(π+ 1)

F¨ur >0 gibt es nun ein X0, sodass f¨ur alle X > X0 : ^2kf00k

2 1

3X³(π+1) <

Satz 2.2. Es gibt eine eindeutige, linear Fortsetzung F :L²(R)→L²(R)von ˆ|_C²

00.

Beweis. Der Operatorˆ|_C²

00 :C₀₀² (R)→L¹(R)∩L²(R)⊆L²(R) ist linear und stetig und deshalb auch gleichm¨aßig stetig. Außerdem ist C₀₀² (R) dicht im vollst¨andigen Raum L²(R).

Also gibt es eine eindeutige, lineare, gleichm¨aßig stetige Fortsetzung F : L²(R)→L²(R) vonˆ|_C²

00.

3 Die Poissonsche Summenformel

Satz 3.1. Sei f ∈C²(R) und es gibt ein C ∈ R und ein x₀ ∈R so dass gilt

|f(x)|,|f⁰(x)|, |f⁰⁰(x)| ≤ _x^C2 f¨ur alle x∈R mit |x| ≥x₀, dann folgt:

∞

X

k=−∞

f(2kπ) = 1 2π

∞

X

n=−∞

fˆ(n)

Beweis. Zuallererst sei bemerkt, dass wegen

∞

Z

−∞

|f(x)| dx=

−x₀

Z

−∞

|f(x)| dx+

x0

Z

−x0

|f(x)| dx+

∞

Z

x0

|f(x)| dx≤

≤

−x₀

Z

−∞

C x² dx+

x0

Z

−x₀

|f(x)| dx+

∞

Z

x0

C

x² dx <+∞

f ∈L₁(R) gilt. Selbiges gilt aus dem gleichen Grund auch f¨ur f⁰ und f⁰⁰. Nun kreieren wir folgende Funktion:

F(t) :=

∞

X

k=−∞

f(t+ 2kπ)

Sei K > 0 zun¨achst beliebig. F¨ur alle k ∈ Z mit −K + 2kπ > x₀ bzw K−2kπ < x0 gilt

|f(t+ 2kπ)| ≤ C

(−K+ 2kπ)² = C

(K−2kπ)² f¨ur alle t∈[−K, K], K >0.

Deshalb gibt es ein k₀ ∈N, sodass

−k₀

X

k=−∞

|f(t+ 2kπ)| ≤

−k₀

X

k=−∞

C

(−K + 2kπ)² <+∞

∞

X

k=k0

|f(t+ 2kπ)| ≤

∞

X

k=k0

C

(−K + 2kπ)² <+∞

f¨ur alle t∈[−K, K] gilt. Es ergibt sich

∞

X

k=−∞

sup

t∈[−K,K]

|f(t+ 2kπ)| ≤

≤

−k0

X

k=−∞

sup

t∈[−K,K]

|f(t+ 2kπ)|+

∞

X

k=k0

sup

t∈[−K,K]

|f(t+ 2kπ)|+

+

k0−1

X

k=−k0+1

sup

t∈[−K,K]

|f(t+ 2kπ)|<+∞

f¨ur alle t∈[−K, K].

Aus dem Weierstraß-Kriterium folgt die gleichm¨aßige Konvergenz von

∞

P

k=−∞

f(t+ 2kπ) gegenF auf [−K, K].

Die selbe Vorgehensweise wie f¨ur F zeigt, dass die Reihen

∞

P

k=−∞

f⁰(t+ 2kπ) und

∞

P

k=−∞

f⁰⁰(t+ 2kπ) auf [−K, K] gleichm¨aßig konvergieren. Also kann man Differentiation und Reihenbildung vertauschen, und wir erhalten

F⁰(t) =

∞

X

k=−∞

f⁰(t+ 2kπ) (1)

F⁰⁰(t) =

∞

X

k=−∞

f⁰⁰(t+ 2kπ) (2)

auf [−K, K]. Da K >0 beliebig war, ist F auf ganz R ein stetige Funktion, die (1) und (2) erf¨ullt.

Weiters gilt

∞

P

k=−∞

f(t+ 2(k+ 1)π) =

∞

P

k=−∞

f(t+2kπ) und entsprechendes mit den Ableitungen f⁰, f⁰⁰, weshalb F, F⁰ und F⁰⁰ 2π-periodisch sind. Partielle Integration der Fourierkoeffizienten (f¨ur n6= 0) von F zeigt nun

c_n = 1 2π

2π

Z

0

F(θ)e^−inθdθ^p.I.=

= 1 2π( 1

−inF(θ)e^−inθ|^2π₀ + 1 in

2π

Z

0

F⁰(θ)e^−inθdθ)^p.I.=

=− 1 2n²π

2π

Z

0

F⁰⁰(θ)e^−inθdθ

Auch die Fourierreihe von F konvergiert absolut und ihre Summanden sind beschr¨ankt, weshalb auch diese gleichm¨aßig konvergiert:

∞

X

n=−∞

sup

t∈[0,2π]

c_ne^int =

=

∞

X

n=−∞

n6=0

sup

t∈[0,2π]

− 1 2n²πe^int

2π

Z

0

F⁰⁰(θ)e^−inθ dθ

+

1 2π

2π

Z

0

F(θ)dθ

≤

≤

∞

X

n=−∞

n6=0

1 2n²π

2π

Z

0

|F⁰⁰(θ)| dθ+ 1 2π

2π

Z

0

|F(θ)| dθ < +∞

Nun gilt wegen der gleichm¨aßigen Konvergenz von

∞

P

k=−∞

f(θ+ 2kπ)e^−inθ auf dem Intervall [0,2π] (diese sieht man wie f¨ur F)

cn= 1 2π

2π

Z

0

F(θ)e^−inθdθ = 1 2π

2π

Z

0

∞

X

k=−∞

f(θ+ 2kπ)e^−inθ dθ=

= 1 2π

∞

X

k=−∞

2π+2kπ

Z

2kπ

f(θ)e^−inθdθ = 1 2π

f(n)ˆ

wobei die letzte Gleichheit aus dem Satz der majorisierten Konvergenz (siehe z.B VI Satz 14.4) folgt. Dieser gilt da sich die Partialsummen f¨ur alleN ∈N mittels

|f(θ)| ≥

N

X

k=−N

1[2kπ,2kπ+2π](θ)·f(θ)e^−inθ

absch¨atzen lassen und |f(θ)| ∈L₁(R). Es ergibt sich F(t) =

∞

X

k=−∞

f(t+ 2kπ) =

∞

X

n=−∞

1 2π

fˆ(n)e^int. Setzt man t= 0, so folgt das zu Beweisende

∞

X

k=−∞

f(2kπ) =

∞

X

n=−∞

1 2π

fˆ(n)

4 Quellen

I Johnathan R. Partington. Interpolation, Identification, and Sampling, Oxford University Press, 1997

II Michael Kaltenb¨ack. Analysis 1, Vorlesungsskriptum, Wien, 2012 III Michael Kaltenb¨ack. Analysis 2, Vorlesungsskriptum, Wien, 2012 IV Michael Kaltenb¨ack. Analysis 3, Vorlesungsskriptum, Wien, 2012

V Michael Kaltenb¨ack, Harald Woracek, Martin Bl¨umlinger. Funktional- analysis 1, Vorlesungsskriptum, Wien, 2012

VI Wolfgang Wertz. Mass- und Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesungsskrip- tum, Wien, 2010