Beugung am Doppelspalt

Quantentheorie

Gibt es in der Natur Zufall oder sind die Naturgesetze streng bestimmend (Determinismus)? Welche Beziehung gilt zwischen Ursache und Wirkung (Kausalität)? Gibt es physikalische Objekte, die physikalische Eigenschaften objektiv besitzen (Realität)? Die Quantentheorie wirft viele Fragen auf und

beantwortet diese ganz anderes als bis anhin gewohnt! Die Relativitätstheorie hat unsere Vorstellung von Raum und Zeit grundlegend verändert. Der Quantentheorie liegen ganz andere Vorstellung von Materie und Strahlung zugrunde, als wir uns durch unsere Alltagserfahrung und von der klassischen

Mechanik her gewohnt sind. Sie ist heute die wohl empirisch best belegte physikalische Theorie!

Der Holzschnitt von C. Flammarions (1888), im Stil des 15. Jahrhundert, zeigt einen auf der Erdscheibe knienden Beobachter, der aus der Himmelssphäre hinausschaut und staunend das dahinterliegende Universum betrachtet.

1. Wellen und Teilchen

Ein erstes Experiment mit Licht: Beugung am Doppelspalt Beugung hebt Schattengrenzen auf!

Mit der Wellenwanne studieren wir, wie sich Wellen beim Durchgang durch eine Öffnung verhalten. Es kann Beugung beobachtet werden:

……… Ausbreitung ……… Beugungsmuster ……… Ausbreitung

In all diesen Fällen kann man sehen, wie die Welle in den geometrischen ………raum übergreift. Dieses Übergreifen in den Schattenraum heisst ……… . Das Phänomen wird umso stärker, je ……… der Spalt ist. Es lassen sich zwei extreme Fälle unterscheiden:

Geradlinige Ausbreitung: Ist der Spalt wesentlich ……… als die Wellenlänge (d  λ), so breitet sich die Welle nach dem Spalt geradlinig aus.

Kreisförmige Ausbreitung: Ist der Spalt jedoch deutlich ……… als die Wellenlänge (d  λ), so breitet sich nach dem Spalt eine Kreiswelle aus.

Ganz allgemein ist jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer Kreiswelle (Huygens Prinzip).

Christiaan Huygens (1629 – 95 Den Haag) Astronom, Mathematiker und Physiker

Doppelspaltversuch von Young

Thomas Young führte ca. 1801 zum ersten Mal ein Experiment mit Licht bei dem Licht auf einen sehr feinen Doppelspalt trifft, durch. Dieses Experiment wurde zu einem der bedeutendsten Experimente in der Physik. Wir unter- suchen Wellen in der Wellenwanne und lassen dabei eine ebene Wasserwelle gegen zwei nebeneinander liegende, sehr enge Öffnungen, laufen – einen Doppelspalt.

Hinter jeder Öffnung breitet sich eine Kreiswelle aus.

Diese Kreiswellen laufen übereinander hinweg und bilden ein kompliziertes Interferenzmuster. Es gibt Gebiete mit

……… Interferenz, in denen sich die Wellen gegenseitig auslöschen. In anderen Gebieten kommt es zur

……… Interferenz und es ergibt sich eine grosse Amplitude, die Beugungsmaxima.

Trifft eine Welle auf einen Doppelspalt, so ersteht ein Interferenzmuster. Dieses Muster kann nur bei einer ……… entstehen. Würde ein ………strahl auf einen Doppelspalt treffen, so könnte kein solches Streifenmuster beobachtet werden.

Nun lassen wir einen Laserstrahl auf einen Doppelspalt treffen und betrachten das entstehende Muster.

Es entsteht ein Beugungsmuster! Licht wird an einem Doppelspalt gebeugt.

Licht ist eine ……… und kann kein ……… sein!

Thomas Young (*1773; † 1829)

Arzt, Linguist, Physiker, Ägyptologe, Univer- salgenie "The last person to know everything"

Beugung am Doppelspalt

Bei der Beugung am Doppelspalt entstehen Streifen mit grosser Intensität, die Beugungs- maxima. Die Winkel α, unter welchen diese Intensitätsmaxima auftreten, unterliegen der folgenden Bedingung:

^sin

( )

wobei d der Abstand der Spalten, λ die Wellenlänge und m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, … die Ordnung des Maximums.

Aufgabe 1: Rotes Licht eines Helium-Neon-

Lasers (λ = 632.8 nm) wird an einem Doppelspalt gebeugt. Die Spalten haben einen Abstand von 2 µm.

a) Berechne die Winkel, unter denen die Intensitäts- maxima erscheinen.

b) Wie viele Intensitätsmaxima entstehen?

c) Wie verändert sich der Winkelabstand zwischen den Maxima, wenn der Abstand der Spalten grösser gemacht wird?

d) Spezielle Helium-Neon Laser emittieren grünes Licht (λ = 543.5 nm). Liegen die Maxima bei der Beugung am Doppelspalt beim grünen He-Ne- Laser dichter oder weniger dicht als mit dem roten He-Ne-Laser?

Beugung am Spalt

Bereits an einem einfachen Spalt tritt Beugung auf:

Die Intensitätsminima liegen bei der Beugung am Spalt unter den Winkeln:

^sin

( )

wobei s die Spaltbreite, λ die Wellenlänge und k = 1, 2, 3, 4, … die Ordnung des Minimums.

Aufgabe 2: Melanie bestimmt die Wellenlänge eines Laser- pointers. Dazu bestrahlt sie einen Spalt von 0.20 mm Breite mit dem roten Laserlicht. In einer Entfernung von 3.0 m vom Spalt ist ein Schirm aufgestellt. Die Spaltebene und der Schirm sind parallel und stehen senkrecht zum Laserstrahl.

Die beiden Intensitätsminima 1. Ordnung haben 2a = 1.9 cm Abstand voneinander. Wie gross ist die Wellenlänge des Laserlichtes?

m=0

m=1 m=1 m=2

m=2

Ein zweites Experiment mit Licht: Der Photoeffekt

1886 führten Heinrich Hertz und sein Assistent Wilhelm Hallwachs erste systematische Unter- suchungen zum Photoeffekt durch. Wir führen dasselbe Experiment durch und machen dabei folgende Beobachtungen:

Die Platte entlädt sich, wenn sie ………

geladen ist. Ist sie ………, so entlädt sie sich nicht.

Je grösser die Intensität des Lichtes, desto

……… entlädt sich die Platte.

Wird die Zinkplatte mit sichtbarem Licht (ohne UV-Strahlung) beleuchtet, so entlädt sie sich

……… , und zwar ……… von der Intensität!

Interpretation im Wellenbild

Beim Photoeffekt werden

……… aus einer Metalloberfläche herausgeschlagen. Beim Licht handelt es sich um eine elektromag- netische ……… . Diese Welle bringt die Elektronen im Metall zum

………, bis sie sich aus der Platte herauslösen.

Je grösser die Intensität der Welle und damit die ………, desto schneller erhalten die Elektronen genügend (Schwingungs-)Energie, um die Platte zu verlassen – desto ………

entlädt sie sich.

Mit UV-Strahlung, also ………-welligem Licht, werden Elektronen herausgeschlagen, für sichtbares, also ……… Licht jedoch nicht. Die Energie der Welle kann

……… von der Wellenlänge beliebig erhöht werden und damit müsste es mit jeder Wellenlänge gelingen, Elektronen herauszuschlagen. Im Experiment können jedoch auch bei sehr hoher Intensität mit sichtbarem Licht keine Elektronen herausgelöst werden!

Interpretation im Teilchenbild

Beim Photoeffekt werden

……… aus einer Metalloberfläche herausgeschlagen. Beim Licht handelt es sich um einen Strahl von

……… . Diese Teilchen

……… auf die Elektronen und schlagen diese aus der Platte heraus.

Je grösser die Intensität des Strahls und damit die ………. Teilchen pro Zeit und pro Fläche, desto ……… treffen Lichtteilchen auf Elektronen – desto ……… entlädt sie sich.

Mit UV-Strahlung, also Lichtteilchen mit ……… Energie, werden Elektronen heraus- geschlagen, für sichtbares, also Lichtteilchen mit ……… Energie jedoch nicht. Auch wenn die Intensität (mehr Teilchen pro Zeit) erhöht wird, reicht die Energie der einzelnen

Lichtteilchen ……… aus, um ein Elektron herauszuschlagen. Dies erklärt, weshalb im Experi- ment auch bei sehr hoher Intensität von sichtbarem Licht keine Elektronen herausgelöst werden!

Licht ist ein ……… und kann keine ……… sein!

Zwei Experimente mit Materie

Elektronen und andere geladene Teilchen hinterlassen in der Blasenkammer Spuren. Sie werden von einem Magnetfeld auf gekrümmte Bahnen gezwungen.

Die Teilchen bewegen sich wie klassische (oder relativistische) Körper auf ihren Bahnen.

Ein Elektronenstrahl trifft auf eine dünne Beryllium- folie. In dieser Folie sind die Atome regelmässig in einer Kristallstruktur angeordnet. Diese regelmässige Struktur stellt einen ‚Mehrfachspalt’ dar. Die Elektronen werden wie eine Welle gebeugt!

Materie hat sowohl Eigenschaften von ……… wie auch von ………!

2. Das Photon

Der Photoeffekt

Beim Photoeffekt treffen Lichtteilchen (Photonen) auf einer Metallplatte auf. Hat das Lichtteilchen genügend Energie, um die Bindungsenergie des Elektrons zu überwinden, so kann es ein Elektron aus der Platte schlagen.

Wir messen die Energie des austretenden Elektrons mit der Gegenfeldmethode:

Licht besteht aus ……… (………), deren Energie proportional zur

……….…… des Lichts ist: Eγ = ………

mit dem Planck’sches Wirkungsquantum h ≈ 6.63∙10^–34 J∙s.

Beim Photoeffekt haben die austretenden Elektronen die maximale kinetische Energie Emax = ……… wobei WA die ……… und der Energie des Photons Eγ = ………

Aufgabe 3: Elektronen sind in Metallen durch elektrische Kräfte gebunden. Welche Möglichkeiten bestehen, den Elektronen die zur Austrittsarbeit notwendige Energie zu geben, so dass sie das Metall verlassen können?

a) Starkes Schütteln des Metalls b) Bestrahlung mit Wärmestrahlung c) Starkes Erhitzen d) Beschuss mit Elektronen oder Protonen e) Bestrahlung mit UV-Licht f) Anlegen des Minus-Pols einer 12 V-Batterie Aufgabe 4: Eine negativ geladene Platte auf einem Elektroskop wird mit kurzwelligem Licht

bestrahlt. Was geschieht?

a) Die Metallplatte wird entladen. b) Es treten Elektronen aus der Metallplatte aus.

c) Der Elektroskopausschlag geht zurück. d) Es passiert gar nichts.

e) Bei Licht mit genügend grosser Wellenlänge passiert nichts.

Aufgabe 5: Eine positiv geladene Platte auf einem Elektroskop wird mit kurzwelligem Licht bestrahlt. Was geschieht?

a) Die Metallplatte wird entladen. b) Es treten Elektronen aus der Metallplatte aus.

c) Der Elektroskopausschlag geht zurück. d) Es passiert gar nichts.

e) Bei Licht mit genügend grosser Wellenlänge passiert nichts.

f) Der Elektroskopausschlag steigt an.

Aufgabe 6: Der Photoeffekt widerlegt, dass Licht nur Wellencharakter hat. Welche experimentellen Befunde beim Fotoeffekt sind mit dem Wellenmodell nicht vereinbar?

a) Grössere Lichtintensität führt zu grösserem Fotostrom.

b) Existenz einer oberen Grenzwellenlänge.

c) Austreten von Elektronen aus einer Metallschicht bei Bestrahlung.

d) Unabhängigkeit der Elektronenenergie von der Lichtintensität.

Aufgabe 7: Schreiben Sie den Satz zu Ende, indem Sie jedem Teil aus A einen richtigen Teil aus B anfügen: „Wenn beim photoelektrischen Effekt bei konstanter Wellenlänge die Intensität geändert wird, ändert sich bei den losgelösten Elektronen ...

A die Anzahl … B proportional zur Lichtleistung.

die kinetische Energie … nicht proportional zur Lichtleistung.

die Geschwindigkeit … gar nicht.

Aufgabe 8: Eine Vakuumfotozelle (vgl. Bild) wird an ein Voltmeter angeschlossen und mit grünem Licht bestrahlt. Es wird eine Spannung von 0.8 V gemessen.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

a) Bei Erhöhung der Intensität des grünen Lichts steigt die Spannung.

b) Die Intensität des grünen Lichts hat keine Auswirkung auf die Spannung.

c) Blaues Licht würde die gleiche Spannung ergeben.

d) Blaues Licht würde eine grössere Spannung ergeben.

e) Blaues Licht würde eine kleinere Spannung ergeben.

Aufgabe 9: Eine Vakuumfotozelle mit Gegenfeldmethodenbeschaltung wird mit grünem Licht bestrahlt. Bei einer Gegenspannung von 0.4 V zeigt sich ein Strom von 0.2 pA. Was ist richtig?

a) Eine Erhöhung der Intensität des Lichts führt zu grösserem Fotostrom.

b) Eine Erhöhung der Intensität des Lichts ändert den Fotostrom nicht.

c) Eine Erhöhung der Gegenspannung ändert am Fotostrom nichts.

d) Eine Erhöhung der Gegenspannung verringert den Fotostrom.

e) Die Grenzwellenlänge des Kathodenmaterials ist grösser als die des grünen Lichts.

f) Die Grenzwellenlänge des Kathodenmaterials ist kleiner als die des grünen Lichts.

Aufgabe 10: Beim Fotoeffekt geben Photonen Energie an Elektronen ab. Was ist richtig?

a) Das aus dem Metall herausgelöste Elektron besitzt die gesamte Energie des Photons.

b) Das Elektron kann maximal die Energie des Photons abzüglich der Austrittsarbeit besitzen.

c) Das Photon hat nach der Wechselwirkung mit dem Elektron noch Energie.

d) Das Photon wird bei der Wechselwirkung mit dem Elektron vernichtet.

Aufgabe 11: Eine Zinkplatte wird mit Licht unterschiedlicher Frequenzen bestrahlt. Dabei wird die kinetische Energie der aus der Platte austretenden Elektronen gemessen. Die kinetische Energie der Elektronen in Abhängigkeit der Frequenz des Lichts ist nebenstehend abgebildet.

a) Welche kinetische Energie hat das austretende Elektron, wenn ein Photon mit der einer Wellenlänge von λ = 200 nm auftrifft?

b) Welche kinetische Energie hat das austretende Elektron, wenn ein Photon mit der Frequenz f = 5.0∙10¹⁴ Hz auftrifft?

c) Welche Arbeit (in Joule und in eV) muss am Elektron verrichtet werden, damit es aus der Platte austritt (Austrittsarbeit)? Kontrolliere deine Werte anhand der Angaben in der Formelsammlung.

d) Welche Energie (in Joule und in eV) und welche Wellenlänge muss ein Photon mindestens haben, um ein Elektron aus der Platte zu lösen?

e) Bestimme mit Hilfe der Abbildung den Wert des Plank’schen Wirkungsquantum h.

Aufgabe 12: Zur Stoffwechseluntersuchung wird in modernen Kliniken vermehrt auch Nuklearmedizin eingesetzt. Dabei wird der Patientin das kurzlebige radioaktive Isotop Technetium-99 in den Körper eingespritzt. Mit einer speziellen Kamera wird die emittierte γ-Strahlung detektiert und so die

Verteilung im Körper verfolgt. Die energiereichen Gammastrahlen erzeugen in einem dünnen Kristall sichtbare Lichtblitze, die in einem Photomultiplier erfasst werden.

a) Erklären Sie, weshalb in der Photozelle mehr Elektronen ausgelöst werden, wenn die Lichtintensität zunimmt, was auf eine erhöhte γ-Strahlung hindeutet.

b) Welche Materialien würden Sie für die Photokathode (Schicht in der der Photoeffekt stattfindet) einsetzen, um möglichst alle sichtbaren Lichtblitze zu erfassen? Welche eignen sich dazu gerade gar nicht?

c) Welche Geschwindigkeit haben die ausgelösten Elektronen, wenn Cäsium mit einem gelben Lichtblitz (600 nm) bestrahlt wird?

Aufgabe 13: Bei der Gegenfeldmethode wurde mit einer Cäsium-Kathode die grüne durchgezogene Linie in der Abbildung gemessen. Anschliessend wurde mit einer Kaliumkathode

experimentiert, wobei die Austrittsarbeit von Kalium gösser als die von Cäsium ist. Welche der anderen Geraden könnte zu Kalium gehören?

Aufgabe 14: Bestimme aus der nebenstehenden Figur das Planck’sche Wirkungsquantum.

Aufgabe 15: * Eine Vakuumphotozelle wird nacheinander mit Licht unterschiedlicher Wellenlänge λ bestrahlt. Mit einem Voltmeter wird festgestellt, dass sich zwischen Kathode und Anode jeweils eine andere Spannung U einstellt.

Für die verschiedenen Wellenlängen des Lichts ergeben sich die folgenden Spannungen:

λ [nm] 447 492 502 U [mV] 635 390 339

Ermitteln Sie unter Verwendung aller Versuchsdaten die Planck’sche Konstante.

Röntgenstrahlung

Jede Geschwindigkeitsänderung eines geladenen Teilchens ist mit der Absorption oder Emission von elektromagnetischer Strahlung verbunden.

Der Effekt der Bremsstrahlung wird in Röntgenröhren zur Erzeugung von Röntgen- strahlung verwendet. Dabei schiesst man Elektronen mit einer kinetischen Energie ab 30 keV auf eine Metallplatte, die häufig aus Wolfram besteht.

Wird Röntgenstrahlung durch Bremsstrahlung erzeugt, so wird Röntgenstrahlung mit einem

………... Spektrum ausgesandt. Das Spektrum bricht jedoch bei einer ………-wellenlängige Grenze (Duane-Hunt-Gesetz oder inverser Photoeffekt) ab.

Die kürzeste mögliche Wellenlänge tritt auf, wenn die gesamte ……….

Energie des Elektrons in ein einziges Photon umgewandelt wird:

λmin =

Herleitung

Aufgabe 16: Berechne die kurzwellenlängige Grenze des Röntgenspektrums bei einer Beschleunigungsspannung von 50 kV.

Vergleiche dein Resultat mit der nebenstehenden Abbildung.

3. Massive Teilchen

Materiewellen

Von Objekten wie Elektronen, Protonen und Atomkernen nehmen wir gemeinhin an, dass es sich um kleine

……… handelt. Sie haben jedoch auch Welleneigenschaften.

Jedem Teilchen mit Masse m und der Geschwindigkeit v kann eine Wellenlänge λ zugeordnet werden:

λ = ……… (de Broglie-Wellenlänge) Plank’sches Wirkungsquantum h ≈ 6.63∙10^–34 J∙s Die Energie eines nicht relativistischen Teilchens ist immer noch gegeben durch E = ………

Inferenzmuster von Phthalocyanin-Molekülen

The observation of interference patterns in double-slit experiments with massive particles is generally regarded as the ultimate demonstration of the quantum nature of these objects. Such matter–wave interference has been observed for electrons, neutrons, atoms and molecules and, in contrast to classical physics, quantum interference can be observed when single particles arrive at the detector one by one. The build-up of such patterns in experiments with electrons has been described as the “most beautiful experiment in physics”. Here, we show how a combination of nanofabrication and nano-imaging allows us to record the full two-dimensional build-up of quantum interference patterns in real time for phthalocyanine molecules and for derivatives of phthalocyanine molecules, which have masses of 514 AMU and 1298 AMU respectively.

1 T. Juffmann et al „Real-time single-molecule imaging of quantum interference“ in Nature Nanotechnology 7 (2012) Louis-Victor de Broglie (*1892, †1987) war ein französischer Physiker. Er postulierte als erster die Wellennatur des Elektrons.

Aufgabe 17: Die Auflösung eines optischen Mikroskops liegt in der Grössenordnung der Wellenlänge des verwendeten Lichts.

Bei einem Elektronenmikroskop liegt aus technischen Gründen die Auflösung in der Grössenordnung der hundertfachen Wellenlänge der Materiewellen, die nach Louis de Broglie den verwendeten

Elektronen zugeordnet werden kann. Die Elektronen werden beschleunigt und gegen das Objekt, das man analysieren will, geschossen. Mit welcher Spannung müssen die Elektronen beschleunigt werden, damit die ihnen entsprechende De-Broglie- Wellenlänge gerade 0.1 nm (Atom- durchmesser) beträgt?

Aufgabe 18: In einer Fernsehröhre werden Elektronen mit einer Spannung von 7.0 kV beschleunigt und gegen den Bildschirm geschossen, wo sie durch den Verlust ihrer Bewegungsenergie eine chemische Sub- stanz zur Lichtemission veranlassen. Wel- che Wellenlänge haben diese Elektronen?

Aufgabe 19: 1912 testete Max von Laue die Beugung von Röntgenstrahlen durch Kristalle. Ihm gelang der Nachweis für die Wellenstruktur der Röntgenstrahlen sowie für die Raumgitterstruktur der Kristalle.

Zwei Jahre später wurde ihm dafür der Nobelpreis verliehen. Damals lehrte und forschte Max von Laue an der Universität Zürich. 1927 zeigten C. Davisson und L. Germer, dass man mit Elektronen ebenfalls Beugungsbilder von Kristallen

erzeugen kann. 1936 erhielten sie für diese Resultate den Nobelpreis. Ein Kristall bewirkt beim Auftreffen von Röntgenstrahlen der Wellenlänge 0.011 nm einen gewissen Beugungseffekt.

Welche Beschleunigungsspannung benötigen Elektronen, deren Materiewellen am gleichen Kristall den gleichen Effekt hervorbringen sollen?

Die Abbildung links zeigt das Beugungsmuster von Röntgen- strahlen an einer Aluminiumfolie. Das Muster rechts zeigt das Beugungsmuster von Elektronen an derselben Folie.

4. Energie und Impuls

Ein Photon hat nicht nur Energie, sondern auch einen Impuls hat. Einer Lichtwelle mit einer bestimmten Wellenlänge kann ein Impuls zugeordnet werden. Umgekehrt postulierte Louis-Victor de Broglie 1924 in seiner Doktorarbeit, dass jedem massiven Quantenobjekt mit Impuls

(Elektronen, Protonen, …) eine Wellenlänge zugeordnet werden kann. Wellenlänge und Impuls einer Wellenfunktion sind also miteinander verbunden.

Für jedes Quantenobjekt (………) gilt eine Relation zwischen Energie und Frequenz und zwischen Impuls und Wellenlänge:

E = ……… p = ………

mit dem Planck’sches Wirkungsquantum h ≈ 6.63∙10^–34 J∙s

Für Photon im Vakuum gilt folgende Dispersionsrelation bzw. Energie-Impuls-Relation:

f = ……… E = ………

Von Teilchen wie Elektronen, Protonen und Atomkernen nehmen wir gemeinhin an, dass es sich um ……… handelt. Sie haben jedoch auch Welleneigenschaften (Materiewellen).

Für ein (nicht relativistisches,) massives Teilchen gilt folgende Dispersionsrelation bzw. Energie- Impuls-Relation:

f = ……… E = ………

Der Compton-Effekt

Bis zur Entdeckung des Compton-Effekts 1922 war der Photoeffekt der einzige Befund, dass Licht sich nicht nur wie eine Welle, sondern auch wie ein Strom von Teilchen verhält.

Trifft hochenergetischen Röntgenstrahlen auf Graphit so wird die Strahlung gestreut, wobei die Wellenlänge der gestreuten Strahlung grösser als die der einfallenden Strahlung. Dabei wird das Licht an den (quasifreien) Elektronen in den äusseren Elektronenhüllen gestreut.

Verstehen wir das einfallende Licht als elektromagnetische Welle, so ist nicht verständlich, weshalb sich die Wellenlänge des Lichtes bei der Streuung an den Elektronen ändern sollte.

Betrachten wir das Licht jedoch als Strom von Teilchen (Photonen), so kann der Compton-Effekt mühelos als vollkommen elastischer Stoss verstanden werden. Beim Stoss bleiben sowohl, die Energie, wie auch der Impuls erhalten. Da das Photon Energie an das Elektron abgibt, ver- grössert sich seine Wellenlänge.

Trifft ein ……… Photon auf ein (quasi-)……… Elektron, so

vergrössert seine Wellenlänge um

( )

( )

e

h 1 cos 1 cos

∆λ =m c − ϕ = λ − ϕ

⋅ , wobei die Compton-

Wellenlänge für ein Elektron λC = ……….·10^–12 m beträgt.

Aufgabe 20: Berechne die Compton-Wellenlänge λC für ein Elektron. Welche Bedeutung hat diese Wellenlänge? Wie gross ist sie im Vergleich zur Wellenlänge von blauem Licht (450 nm)?

Aufgabe 21: Für welchen Streuwinkel wird die Veränderung der Wellenlänge maximal? Wie gross ist diese maximale Veränderung der Wellenlänge bei der Streuung an einem Elektron?

Aufgabe 22: Warum kann man den Compton-Effekt nicht mit sichtbarem Licht feststellen?

Welches ist richtig?

a) Sichtbares Licht hat nur Wellencharakter, keinen Teilchencharakter.

b) Die für den Compton-Effekt in Frage kommenden äusseren (Valenz-)Elektronen sind zu stark gebunden, um von Lichtquanten aus dem Atom gelöst zu werden.

c) Der maximale Wellenlängenunterschied wäre zu klein, um gemessen werden zu können.

Aufgabe 23: Mit welcher Modellvorstellung deutet man den Compton-Effekt?

a) Vollkommen elastischer Stoss mit einem fest gebundenen Elektron eines Atoms.

b) Unelastischer Stoss mit einem fest gebundenen Elektron eines Atoms.

c) Vollkommen elastischer Stoss mit einem freien Elektron.

d) Unelastischer Stoss mit einem freien (nur ganz lose gebundenen) Elektron eines Atoms.

5. Die quantenmechanische Wellenfunktion

Quantenobjekte (Photonen, Elektronen, Protonen, …) breiten sich mit den Eigenschaften von Wellen aus. Sie werden durch eine Wellengleichung beschrieben. Die Amplitude der Welle bestimmt, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das Objekt an einem bestimmten Ort befindet.

Materiewellen (massive Teilchen)

Die Wellenfunktion Ψ ist ein mathematisches Objekt, das den Zustand eines massiven Quanten- objekts ……….. beschreibt und seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Raum bestimmt. Das ……… der Amplitude der Wellenfunktion ist proportional zur Wahrscheinlichkeitsdichte der Position des Teilchens.

Die Wellenfunktion muss also ……… sein.

Für ein freies, klassisches und massives Teilchen gilt auf Grund der Energie-Impuls-Relation folgende Wellengleichung (eindimensionale Schrödingergleichung ohne Potential)³:

( ) ( )

∂Ψ ∂ Ψ

⋅ = − ⋅

∂  ∂



2 2

2

x, t x, t

i t 2m x

Die Lösungen sind komplexe Wellenfunktionen.

Elektromagnetische Wellen (Photonen)

Für Photonen im Vakuum ergibt sich aus den Maxwellgleichungen bzw. aufgrund der relativistischen Energie-Impuls-Relation folgende eindimensionale Wellengleichung:

( ) ( )

∂ ∂

∂ = ∂

2 2

2

2 2

E x, t E x, t

t c x

Die Lösungen sind reelle Wellenfunktionen.

Das ……… der Amplitude des elektrischen Feldes ist proportional zur Wahrscheinlichkeitsdichte der Position des Photons.

2 In diesem Skript kann nur die Grundidee der Quantentheorie aufgezeigt werden. Die Beschreibung der Quanten- natur der Materie bzw. des Lichtes (der elektro-magnetischen Felder) gelingt erst im Rahmen der Quantenmechanik bzw. der Quantenelektrodynamik. Beide Theorien bedienen sich eines mathematischen Formalismus es, der das gymnasiale Curriculum bei weitem übersteigt.

3 Oft ist es einfacher mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum zur rechnen: =

 hπ 2

Beugung am Doppelspalt

Ein massives Quantenobjekt (Elektron, Proton, Moleküle …) breitet sich als Welle – beschrieben durch die Wellenfunktion – aus und trifft auf einen Doppelspalt. Dadurch entsteht ein ………

……… . Dieses Muster gibt an, mit welcher

………. die Teilchen an einem bestimmten Ort auftreten. Treffen sehr viele Teilchen auf, so ergibt sich das

bekannte Interferenzbild. Sind es jedoch nur ein paar wenige, so ist nicht bestimmt, wohin das Teilchen fliegt. Es ist nur die Wahrschein- lichkeit für sein Auftreffen in einem bestimmten Bereich bestimmt!

In der Quantentheorie sind nur noch Wahrscheinlichkeits- aussagen über Teilchen möglich!

Aufgabe 24: Die nebenstehende Figur zeigt das Beugungsmuster eines Laserstrahls an einem Doppelspalt. Die Kurve gibt Intensität des Lichtes und damit also die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auftreffen eines Photons an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft ein Photon im Bereich a) des Hauptmaximums auf?

b) innerhalb des Hauptmaximums und der beiden ersten Nebenmaxima auf?

c) innerhalb des Hauptmaximums, der beiden ersten und der beiden zweiten Nebenmaxima auf?

Aufgabe 25: In der Figur zur vorhergehenden Aufgabe trifft ein Photon im ersten Nebenmaximum

links auf. Durch welchen der beiden Spalten ist es gegangen?

Aufgabe 26: Die Abbildung rechts zeigt schematisch das Beugungsmuster von einem Elektronenstrahl an einem Doppelspalt. Das Experiment wird nun so verändert, dass gemessen wird, durch welchen Spalt sich das Elektron bewegt hat. Verändert sich dadurch das Muster? Falls ja, wie?

Ergebnis eines Doppelspalt- experiments mit Elektronen Anzahl Elektronen:

(a) 10, (b) 200, (c) 6000, (d) 40000, (e) 140000.

Freies Teilchen

Auch ein freies Teilchen wird durch eine Wellenfunktion beschrieben. Ein freies Teilchen stellt also ein eine räumlich begrenzte Welle dar – ein sogenanntes Wellenpacket. Ein Wellenpacket entsteht durch Superposition vieler ebener Wellen unterschiedlicher Wellenlängen (Fouriersynthese).

Meistens ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle wellenlängenabhängig, so dass das Wellenpaket „zerläuft“, d. h. seine Breite wird mit der Zeit immer grösser und die räumliche Bestimmtheit immer ungenauer.

Aufgabe 27: Die Figuren rechts zeigen das Quadrat der Amplitude der Wellen- funktion eines sich bewegenden Teilchens.

Der Ort x ist in Nanometer angegeben.

a) An welchem Ort x erwarten Sie das Teilchen zur Zeit t = 0.5 ms (obere Figur) und zur Zeit t = 0.75 ms (untere Figur)?

b) Wie schnell bewegt sich das Teilchen?

c) Die Wellenfunktion gibt nicht die genaue Position des Teilchens, sondern

nur die Wahrscheinlichkeit, es an einem bestimmten Ort anzutreffen an? Schätzen Sie ab, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Teilchen zur Zeit t = 0.5 ms im Bereich zwischen 11.5 nm und 12.5 nm angetroffen wird.

d) Um die Breite (Streuung) einer Verteilung zu messen, wird häufig die Breite der Kurve auf halber Höhe FWHM (full width at half maximum) angegeben. Gib diese Halbwertsbreite FWHM für t= 0.5 ms und t = 0.75 ms an.

Der Tunneleffekt

Der Tunneleffekt ist in der Physik eine veran- schaulichende Bezeichnung dafür, dass ein atomares Teilchen eine Potentialbarriere von endlicher Höhe auch dann überwinden kann, wenn seine Energie geringer als die Höhe der Barriere ist. Nach den Vorstellungen der klassischen Physik wäre dies unmöglich, nach der Quantenmechanik ist es möglich.

Trifft eine Welle auf eine Potentialschwelle endlicher Höhe, so verschwindet die Amplitude der Welle an der Schwelle nicht schlagartig, sondern klingt dort mit zunehmender Eindringtiefe exponentiell ab (Goos-Hänchen-Effekt). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens ist also auch innerhalb der Potentialschwelle nicht Null. Die Wellenfunktion verschwindet also auch am Ende der Schwelle nicht und es gibt eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen auf der anderen Seite der Schwelle auftaucht.

Wie viele Effekte der Quantentheorie spielt auch der Tunneleffekt nur bei extrem kurzen Distanzen sowie sehr kurzen Zeitabschnitten oder hohen Energien eine Rolle.

Die Namensgebung Tunneleffekt trägt dem Umstand Rechnung, dass die Teilchen die Barriere klassisch nicht überwinden können, und man sich den Effekt, wenn überhaupt, eher als eine Art

„Durchtunnelung“ der Barriere vorstellen muss.

Der Alphazerfall, die Kernfusion in Sternen, die spontanen Mutationen der DNA und die Leitung durch Oxidschichten können nur dank des Tunneleffekts verstanden werden. Der Tunneleffekt wird technisch im Tunnelrastermikroskop, der Tunneldiode und in Flash-Speicher (Floating-Gate- Transistoren) eingesetzt.

Skizze des Experiments

Die Unschärferelation

Wir wollen den Ort eines Teilchens genau messen. Dazu lassen wir das Teilchen durch einen Spalt mit der Breite ∆x fliegen. Wir kennen nun den Ort des Teilchens bis auf die Ungenauigkeit ∆x. Leider ändert sich auch der Impuls des Teilchens beim Durchgang durch den Spalt (Beugung). Wir berechnen nun die Ungenauigkeit im Impuls ∆p:

Ort und Impuls eines Quantenobjekts (Photonen, Elektronen, …) lassen sich ……… gleichzeitig beliebig genau bestimmen. Die Genauigkeit ist durch die Heisenbergsche Unschärferelation grundsätzlich limitiert: ………

Die Unschärferelation ist nicht die Folge von technisch behebbaren Unzulänglichkeiten eines entsprechenden Messinstrumentes, sondern prinzipieller Natur. Sie wurde 1927 von Werner Heisenberg im Rahmen der Quantenmechanik formuliert. Die Heisenbergsche Unschärferelation kann als Ausdruck des Wellencharakters der Materie betrachtet werden und ist eine grundsätzliche Eigenschaft der Fourier-Transformation.

Aufgabe 28: Ein Staubpartikel mit der Masse 1 mg kann mit einem guten Lichtmikroskop auf ∆x = 4·10^–7 m genau geortet werden. Das ist etwa die Grenze des Auflösungsvermögens eines Lichtmikroskops. Wie gross ist die Unbestimmtheit der Geschwindigkeit? Wie kann dieses Resultat gedeutet werden?

Aufgabe 29: Der Ort des Elektrons eines Wasserstoffatoms ist nur auf den Atomdurchmesser von 0.1 nm genau bekannt. Wie wirkt sich dies auf die Geschwindigkeitsangabe aus? Durch klassische Überlegungen lässt sich die Geschwindigkeit des Elektrons in einem Atom berechnen. Die Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung des Elektrons um den Kern ist die Coulombkraft zwischen dem positiv geladenen Kern und dem Elektron. Wie viel Prozent dieser klassisch berechneten Geschwindigkeit beträgt die Unbestimmtheit in der

Geschwindigkeitsangabe? Interpretieren Sie dieses Ergebnis.