3. Elektron-Proton Streuung

Kern- und Teilchenphysik I — SS 2006 — Prof. G. Dissertori — Serie 5

L¨osungen

1. Tiefinelastische Streuung am HERA-Speicherring

a) Die Schwerpunktsenergie der Elektron-Proton-Kollision ergibt sich mit s = (ppc+pec)²=m²_pc⁴+m²_ec⁴+ 2(EpEe−p_ppec²)≈4EpEe

zu √s= 314 GeV,

wenn man die Massen von Proton und Elektron vernachl¨assigt. F¨ur ein station¨ares Proton- target (Ep=mpc²; pp=0) berechnet sich die Schwerpunktsenergie der Elektron-Proton- Kollision zus≈2Eempc².

Damit m¨usste der Elektronstrahl die EnergieEe = _2m^s

pc² = 52.5 TeV besitzen, um eine Schwerpunktsenergie von√s= 314 GeV aufzubringen.

b) Wir betrachten die elementare Elektron-Quark-Streureaktion e(Ee) +q(xEp)−→e(E⁰_e) +q(E⁰_q),

wobei die Gr¨ossen in Klammern die Teilchenenergien angeben. Aus Energie- und Impul- serhaltung ergeben sich die folgenden drei Relationen:

Ee+xEp = E⁰_e+E_q⁰ Gesamtenergie (1)

E_e⁰sin Θ/c = E⁰_qsinφq/c Transversalimpuls (2) (xEp−Ee)/c = (E_q⁰cosφq−E_e⁰cos Θ)/c Longitudinalimpuls (3) Mit den ElektronvariablenEe,Ee⁰ und Θ berechnet sichQ²zu

Q²= 2EeE_e⁰(1−cos Θ)/c².

Aus der Gesamtenergieerhaltung folgtE_e⁰ =Ee+xEp−E_q⁰. Gleichung (2) nachE_q⁰ und Gleichung (3) nachxEpaufgel¨ost und eingesetzt:

E_e⁰ = 2Ee+E_q⁰cosφq−E_e⁰cos Θ−Ee⁰sin Θ sinφq

und nach erneuter Verwendung von (2):Eq⁰=Ee⁰sin Θ/sinφqergibt sich daraus

2Ee = Ee⁰

1 + cos Θ + sin Θ

sinφq−sin Θ cosφq

sinφq

⇒E_e⁰ = 2Eesinφq

sinφ+ cos Θ sinφq+ sin Θ−sin Θ cosφq

= 2Eesinφq

sin Θ + sinφq−sin(Θ−φq) und damit

Q²= 4E_e²sinφq(1−cos Θ) [sin Θ + sinφq−sin(Θ−φq)]c²

Experimentell kann man den Streuwinkelφqdes gestreuten Quarks durch den mittleren, mit der Energie gewichteten Winkel der erzeugten Hadronen bestimmen,

cosφq= P

iEicosφqi

P

iEi

.

c) Der maximale Wert f¨urQ² betr¨agtQ²max=s/c². Er tritt bei Streuung des Elektrons um Θ = 180^◦ (R¨uckstreuung) und maximalem Energie¨ubertrag vom Proton auf das Elek- tron, E_e⁰ = Ep auf. Bei HERA ist damit Q²_max = 98400 GeV²/c². Die Aufl¨osung wird durch die de Broglie-L¨ange bestimmt: λ= ¯h/Q. Damit ergibt sich f¨ur den Collider ein Aufl¨osungsverm¨ogen von 0.63·10⁻³ fm und f¨ur das Fix-Target-Experiment, wobei 300 GeV einemQ² von ca. 562.8 GeV²/c²entspricht, 8.32·10⁻³ fm. Das entspricht ungef¨ahr einem Tausendstel bzw. einem Hundertstel des Protonradius. Messungen sind in der Praxis wegen des mit Q² stark abfallenden Wirkungsquerschnittes in der Regel nur bisQ²_max/2 m¨oglich.

2. Quarkzusammensetzung und Quantenzahlen der Hadronen

a) Pseudoskalare Mesonen (Jp= 0⁻):

Pseudoskalare Meson Quarkzusammensetzung IsospinI3 StrangenessS

π⁺ ud¯ +1 0

π⁰ (u¯u−dd)/¯ √

2 0 0

π⁻ du¯ −1 0

η (u¯u+dd¯−2s¯s)/√

6 0 0

η⁰ (u¯u+dd¯+s¯s)/√

3 0 0

K⁺ u¯s +1/2 +1

K⁰ d¯s −1/2 +1

K¯⁰ sd¯ +1/2 −1

K⁻ s¯u −1/2 −1

b) Vektormesonen (Jp= 1⁻):

Vektormeson Quarkzusammensetzung IsospinI3 StrangenessS

ρ⁺ ud¯ +1 0

ρ⁰ (u¯u−dd)/¯ √

2 0 0

ρ⁻ d¯u −1 0

ω (u¯u+dd)/¯ √

2 0 0

φ s¯s 0 0

K^∗+ u¯s +1/2 +1

K^∗0 d¯s −1/2 +1

K¯^∗0 sd¯ +1/2 −1

K^∗− s¯u −1/2 −1

c) BaryonenJp= 1/2⁺

Baryon Quarkzusammensetzung IsospinI3 StrangenessS

n udd −1/2 0

p uud +1/2 0

Σ⁺ uus +1 −1

Σ⁰ uds 0 −1

Σ⁻ dds −1 −1

Λ uds 0 −1

Ξ⁰ uss +1/2 −2

Ξ⁻ dss −1/2 −2

d) BaryonenJp= 3/2⁺

Baryon Quarkzusammensetzung IsospinI3 StrangenessS

∆⁺⁺ uuu +3/2 0

∆⁺ uud +1/2 0

∆⁰ udd −1/2 0

∆⁻ ddd −3/2 0

Σ^∗+ uus +1 −1

Σ^∗0 uds 0 −1

Σ^∗− dds −1 −1

Ξ^∗0 uss +1/2 −2

Ξ^∗− dss −1/2 −2

Ω⁻ sss 0 −3

3. Elektron-Proton Streuung

Gegeben ist

d²σ dΩdE⁰ =

dσ dΩ

M ott

1 + 2τtan² θ

2

δ(ν− Q² 2M)

Unter der Annahme, dassβ→1 und der Rueckstoss nicht vernachlaessigt wird, kann _dΩ^dσ

M ott

geschrieben werden als

dσ dΩ

M ott

= α²cos^2θ₂ 4E²sin^4θ₂

E⁰ E Mit der Abkuerzung

A= 1 +2E M sin²θ

2

und der BeziehungQ²= 4EE⁰sin^2θ₂, folgt sin^2θ₂=^(A−1)M_2E und somit Q²

2M =2EE⁰sin^2θ₂

M =E⁰(A−1) .

Fuer den Energieuebertragνgilt im Laborystemν=^pq_M=E−E⁰. Damit folgt fuer dieδ-Funktion:

δ(ν− Q²

2M) =δ(E−E⁰−E⁰(A−1)) =δ(E−E⁰A) = 1

Aδ(E⁰−E A)

MitE⁰ =E/Aund Integration ueber die Deltafunktion kommt man nun sofort auf das Er- gebnis fuer ^dσ_dΩ

im Laborsystem.

Das Proton wurde als punktfoermig und spinlos angenommen. Um auf die Struktur des Protons naeher einzugehen, koennen Formfaktoren eingefuehrt werden, die die Verteilung der Ladung und des magnetischen Moments im Proton beruecksichtigen.

4. Zerfall der Delta-Resonanz

a) Gehen wir ins Ruhesystem des ∆⁺⁺. In der klassischen Kinematik gilt f¨ur Impuls- und Energieerhaltung:

0 =p~p+p~π⁺=mpv~p+mπ⁺v~π⁺

und 1

2m²pv~²p+1 2m²π⁺v~π⁺2

= 1232 MeV

c² −938.26 MeV

c² −139.57 MeV

c² = 154.17 MeVc² Mit der Impulserhaltung folgt

~

vp=^mπ_m^+vπ~+

p

und somit 1 2m²p

mπ⁺v~π⁺

mp

2

+1

2m²π⁺v~²_π+=1

2v~π⁺2m²_π+

mp

+mπ⁺

= 154.17 MeV Damit ist

vπ⁺= v u u t

2·154.17 MeV

m² π+ mp +mπ⁺

= 1.39·c,

was gr¨osser als die Lichtgeschwindigkeit ist. Klassisch w¨are der Zerfall also nicht m¨oglich.

b) F¨ur die Vierervektoren gilt

P∆⁺⁺=Pπ⁺+Pp

Wir setzen nun c=1. F¨ur das Quadrat der Viererimpulse gilt nach den Regeln der relativi- stischen Kinematik:

P∆²⁺⁺=M∆⁺⁺2= (Pπ⁺+Pp)²=m²p+m²π⁺+ 2EpEπ⁺−2p~π⁺p~p

Im Schwerpunktssystem sind die Betr¨age der Impulse der Zerfallsteilchen gleich (~pp =

~

pπ⁺≡~p) und die Teilchen zerfallen back-to-back. Unter Beachtung vonM∆⁺⁺=Ep−Eπ⁺

erh¨alt man

M∆²⁺⁺=m²π⁺+m²p+ 2EpEπ⁺+ 2|~p|²=m²π⁺+m²p+ 2Ep(M∆⁺⁺−Ep) + 2(E²p−m²p) und somit

Ep=M_∆²⁺⁺+m²p−m²_π⁺ 2M∆⁺⁺

. Analog f¨urEπ⁺. F¨ur den Betrag des Schwerpunktsimpulses gilt:

|p~p|=|p~⁺_π|=

(M_∆²++−(mp+mπ⁺)²)(M_∆²++−(mp−mπ⁺)²)¹2

2M∆⁺⁺