1. Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

Analysis 2 f¨ ur Lehramt, Pr¨ ufung am 23.11.2012 (Winkler) Name, Matrikelnummer:

M¨ undliche Pr¨ ufung: Bitte melden Sie sich per e-mail an reinhard.winkler@tuwien.ac.at zwecks Terminvereinbarung.

Hinweise bevor Sie beginnen:

1. Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

2. Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

3. Vergessen Sie nicht auf die R¨ uckseite der Angabe.

4. Die einzelnen Teile jeder Aufgabe h¨ angen zusammen. Dies schafft nicht nur Abh¨ angigkeiten, sondern ist oft auch als Hilfe gedacht.

1. (a) Angenommen f : [a, b] → R sei stetig mit f(a) < 0 < f (b) und f (x) 6= 0 f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Wir definieren rekursiv eine Folge von Intervallen I n = [a n , b n ], indem wir mit I 0 = [a, b] beginnen und als I n+1 eine der beiden H¨ alften [a n , ^a

^+b ₂

] oder [ ^a

^+b ₂

, b n ] von I n nehmen, so dass f (a n+1 ) und f (b n+1 ) unterschiedliches Vorzeichen haben. Offenbar gilt a = a 0 ≤ a 1 ≤ a 2 ≤ . . . ≤ b 2 ≤ b 1 ≤ b 0 = b, weshalb a _∞ := lim _n→∞ a n und b _∞ := lim _n→∞ b n existieren. Setzen Sie die Argumentation fort, bis ein Widerspruch auftritt.

(b) Formulieren Sie jenen wichtigen Satz, der in (a) bewiesen wurde.

(c) Beschreiben Sie alle zusammenh¨ angenden Teilmengen von R .

(d) Ein allgemeiner Satz besagt, dass stetige Bilder zusammenh¨ angender Mengen zusam- menh¨ angend sind. Wie l¨ asst sich damit und unter Verwendung von (c) die in (a) be- wiesene Aussage auf anderem Wege herleiten?

(e) Begr¨ unden Sie, warum die Menge M := {(x, y) ∈ R ² : x ² + y ² = 1} zusammenh¨ angend ist, indem Sie eine surjektive und stetige Funktion f : X → M auf einer zusam- menh¨ angenden Menge X angeben.

2. (a) Wann nennt man eine Funktion f : X → Y zwischen zwei metrischen R¨ aumen (X, d X ) und (Y, d Y ) gleichm¨ aßig stetig?

(b) Erkl¨ aren Sie, warum die stetige Funktion f : ]0, ∞[→ R , x 7→ ¹ _x nicht gleichm¨ aßig stetig ist, indem Sie zu beliebig vorgegebenem δ > 0 zwei Punkte x 1 , x 2 > 0 angeben mit

|x 1 − x 2 | < δ und |f (x 1 ) − f(x 2 )| ≥ 1 =: ε.

(c) Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische R¨ aume, f : X → Y gleichm¨ aßig stetig und (x n ) _n∈N eine Cauchyfolge in X . Zeigen Sie, dass dann (f (x n )) _n∈N eine Cauchyfolge in Y ist.

(d) Definiert man die Funktion f ₀ : Q → R , f ₀ (x) := a ^x f¨ ur a > 0 und x ∈ Q wie in der Vorlesung, so zeigt man relativ leicht, dass f 0 auf jedem rationalen Intervall [α, β] ∩ Q gleichm¨ aßig stetig ist. Ein beliebiges (nicht notwendig rationales) x ∈ [α, β] l¨ asst sich als x = lim _n→∞ x n mit x n ∈ [α, β]∩ Q schreiben. Folglich ist (c) anwendbar, und man erh¨ alt wegen der Vollst¨ andigkeit von R einen Grenzwert f (x) = a ^x := lim _n→∞ a ^x

. Weil sich dieser Grenzwert als unabh¨ angig von der speziellen Wahl der gegen x konvergenten Folge (x n ) _n∈N erweist, ist somit die global stetige Exponentialfunktion f = exp _a : R → R , x 7→ a ^x zur Basis a eindeutig definiert.

Angenommen die Rechenregel a ^x+y = a ^x a ^y sei bereits f¨ ur alle x, y ∈ Q gesichert. Wie l¨ asst sich diese Regel auf alle x, y ∈ R ausdehnen? Anleitung: Man betrachte die stetigen Funktionen g ₁ (x, y) := a ^x+y und g ₂ (x, y) := a ^x a ^y .

(e) Es sei bekannt, dass die Funktion exp _a : R → R , x 7→ a ^x , an der Stelle 0 differenzierbar ist. Zeigen Sie unter Verwendung von (d), dass exp _a dann sogar an einem beliebigen Punkt x ₀ ∈ R die Ableitung exp ⁰ _a (x ₀ ) = exp _a (x ₀ ) exp ⁰ _a (0) hat.

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3. Sei f : [a, b] → R , a ≤ b, Riemann-integrierbar und F : [a, b] → R definiert durch F(x) :=

R x a f (t) dt.

(a) Es gelte α ≤ f (x) ≤ β f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Betrachten Sie die (triviale) Zerlegung Z = {a = x 0 < b = x 1 } und die zugeh¨ origen Riemannschen Ober- und Untersummen O(f, Z) und U (f, Z). Begr¨ unden Sie unter Verwendung der Definition des Riemann- Integrals die Ungleichung α(b − a) ≤ R b

a f (x) dx ≤ β(b − a).

(b) Sei ε > 0 beliebig vorgegeben und x ₀ ∈ ]a, b[ . Unter welcher Voraussetzung an f lassen sich unter Verwendung von (a) eine Umgebung U von x ₀ und ein Intervall I der L¨ ange

≤ ε, welches f (x 0 ) enth¨ alt, finden derart, dass ^F(x)−F(x _x−x

⁾

0

∈ I f¨ ur alle x ∈ U .

(c) Formulieren Sie eine Version des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, die man aus (b) ablesen kann.

(d) Seien F ₁ und F ₂ Stammfunktionen von f . Wie l¨ asst sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigen, dass es ein c ∈ R gibt, so dass f¨ ur alle x ∈ D gilt: F ₂ (x) = F ₁ (x) + c?

(e) Erkl¨ aren Sie, wie die Beziehung R 1

0 x ² dx = ¹ ₃ aus (c) und (d) folgt.

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