” Schrot- rauschen“). F¨ ur den gemessenen Strom im Intervall (0, T ) gilt dann ungef¨ ahr

3. Tutorium UE Statistische Physik II, 4.05.2015

6. Auf der mikroskopischen Ebene wird der Strom in elektrischen Schaltungen durch die Bewegung einzelner Ladungstr¨ ager hervorgerufen. Wenn die betrachteten Str¨ ome sehr klein sind, lassen sich auch makroskopisch stochastische Schwankungen des Stromflusses auf Grund der diskreten Natur der Ladungstr¨ ager q beobachten (

” Schrot- rauschen“). F¨ ur den gemessenen Strom im Intervall (0, T ) gilt dann ungef¨ ahr

I(t) = q

N

X

n=1

δ(t − t

) , 0 ≤ t

≤ T wobei der mittlere Strom hIi = qN/T betr¨ agt.

(a) Berechnen Sie die Fouriertransformierte I(ω) der Stromverteilung.

(b) Berechnen Sie die spektrale Dichte S

(ω) der Stromverteilung S

(ω) = hI(ω)I

(ω)i.

7. Betrachten Sie einen RL-Kreis (Serienschaltung) bestehend aus einem Widerstand R und einer Induktivit¨ at L bei der Temperatur T . Aufgrund der thermischen Be- wegung der Elektronen entsteht in dem Schaltkreis ein stochastischer elektrischer Strom (

” Johnson-Nyquist-Rauschen“). Die resultierende stochastische Spannung fluk- tuiert um Null (hU(t)i = 0) und ist delta-korreliert hU (t

)U (t

)i = gδ(t

− t

).

(a) Verwenden Sie das Ohm’sche Gesetz und das 2. Kirchhoff’sche Gesetz (

” Ma- schenregel“) und stellen Sie die Langevin Gleichung f¨ ur den elektrischen Strom I(t) auf.

(b) Wie lautet I(t) mit der Anfangsbedingung I (t = 0) = I

?

(c) Berechnen Sie den mittleren Strom hI(t)i und die Varianz σ

(t) f¨ ur t > 0.

(d) Bestimmen Sie die Korrelationsfunktion hI(t

)I(t

)i.

(e) Stellen Sie ausgehend von der Korrelationsfunktion hI(t

)I(t

)i einen Zusam- menhang zwischen g und R, T, L im Equilibrium (thermischen Gleichgewicht) her. F¨ ur die mittlere magnetische Energie in der Spule gilt in dem Fall

L hI

i =

1

2

k

T mit hI

i = 0.

(f) Verwenden Sie das Wiener-Khinchin Theorem, um die spektrale Dichte S

(ω) der zuf¨ allig fluktuierenden Spannung U(t) zu bestimmen. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Resultat f¨ ur Schrotrauschen.

Zu kreuzen: 6a, 6b, 7ab, 7cd, 7e, 7f