M¨ undliche Pr¨ ufung vereinbart f¨ ur:

Analysis 3 f¨ ur Lehramt, schriftliche Pr¨ ufung am 1.2.2010, Winkler Name, Matrikelnummer:

M¨ undliche Pr¨ ufung vereinbart f¨ ur:

Hinweise, bevor Sie beginnen:

• R¨ uckseite nicht vergessen!

• Innerhalb jeder der drei Aufgaben ist die angegebene Reihenfolge der Teil- fragen empfehlenswert, muss aber nicht eingehalten werden.

• Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

• Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

1. F¨ ur beliebige aber feste reelle Zahlen α, β > 0 sei die reellwertige Funktion f = f

auf D

= {(x, y) ∈ R

: x ≥ 0, y ≥ 0} definiert durch f (x, y) = x

y

, g : R

⊇ D

→ R sei nicht n¨ aher spezifiziert.

(a) Definieren Sie allgemein, wie die partielle Ableitung

(x

, y

) einer Funktion g : R

→ R definiert ist.

(b) Definieren Sie allgemein, wie die Ableitung g

(x

, y

), (x

, y

) innerer Punkt von D

, definiert ist.

(c) Wie l¨ asst sich g

(x

, y

) berechnen?

(d) Bestimmen Sie die partielle Ableitung

(x, y) sofern vorhanden.

(e) F¨ ur welche α > 0, β > 0, x ≥ 0 und y ≥ 0 existiert

(x, y) wenig- stens als einseitige Ableitung, f¨ ur welche nicht?

(f) Begr¨ unden Sie, warum f auf dem Viertelkreis K = {(x, y) ∈ R

: x

+ y

= 1} ∩ D

ein Maximum annimmt.

(g) Geben Sie ein Gleichungssystem in den drei Variablen x, y, λ an, wel- ches von einer Maximumsstelle (x, y) auf K wie in (f) erf¨ ullt sein muss.

(h) Bestimmen Sie alle solchen Maximumstellen.

2. Seien a, b, c > 0 und M = {(x, y, z) ∈ R

:

+

+

≤ 1}

(a) Beschreiben Sie M verbal oder mittels Skizze.

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(b) Geben Sie die Matrixdarstellung einer linearen Transformation T : R

→ R

darart, dass f¨ ur die volle dreidimensionale Einheitskugel B gilt M = T(B).

(c) Wie erh¨ alt man λ

(M ) unter Verwendung der Substitutionsregel aus (b) und λ

(B)? Wie lautet das Ergebnis?

(d) F¨ ur z ∈ R sei M

= {(x, y) : (x, y, z) ∈ M }. Nehmen Sie an, die Werte λ

(M

), z ∈ R , seien bekannt. Welche alternative Formel erg¨ abe sich daraus nach Fubini f¨ ur λ

(M )?

(e) Wie lautet der Satz von Fubini f¨ ur eine stetige Funktion f : [a, b] × [c, d] → R ?

(f) Was versteht man unter dem Z¨ ahlmaß auf einer Menge X ?

(g) Welche Gestalt nimmt das Integral einer Funktion bez¨ uglich des Z¨ ahlmaßes an?

(h) Wie lautet der Satz von Fubini f¨ ur Z¨ ahlmaße? (Hinreichende Voraus- setzung an f angeben.)

3. (a) Wann heißt ein metrischer Raum (X, d) vollst¨ andig?

(b) Bezeichne d

die diskrete Metrik auf der Menge X, (d.h. d

(x, y) = 1 f¨ ur alle x 6= y ∈ X). Ist (X, d

) immer vollst¨ andig?

(c) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur zwei Metriken d

und d

auf ein und der- selben Menge X derart, dass (X, d

) als metrischer Raum vollst¨ andig ist, (X, d

) aber nicht.

Anleitung: Betrachten Sie irgendeine nicht abgeschlossene Teilmen- ge in einem metrischen Raum und verwenden Sie Ihre Antwort aus Teilfrage (b).

(d) Sei 1 ≤ p < ∞, µ ein Maß auf ein einer Menge X und f ∈ L

(µ).

Wie ist ||f ||

definiert?

(e) Analog f¨ ur p = ∞.

(f) Sei nun X = [0, ∞) und µ das Lebesguemaß auf X. Stellen Sie eine 3 × 3-Tabelle auf, aus der hervorgeht, f¨ ur welche i = 1, 2, 3 und f¨ ur welche p = 1, 2, ∞ die Funktion f

in L

liegt. Dabei sei:

f

(x) = sin x

f

(x) = 1 f¨ ur x < 1 und f

(x) =

f¨ ur x ≥ 1

f

(x) =

f¨ ur 0 < x < 1 und f

(x) = 0 f¨ ur x ≥ 1, f

(0) = 0.

(g) Wie ist das Skalarprodukt hf, gi f¨ ur Elemente f, g des Hilbertraumes L

(µ) definiert, und was ist ein Orthonormalsystem B ⊆ L

(µ)?

(h) Sei V ein Hilbertraum, x ∈ V und B ⊆ V ein Orthonormalsystem.

Wie l¨ asst sich die Orthonormalprojektion x

von x auf den Abschluss des von B erzeugten Unterraumes von V berechnen?

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