M¨ undliche Pr¨ ufung: Bitte melden Sie sich per e-mail bei reinhard.winkler@tuwien.ac.at zwecks Terminvereinbarung.

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Analysis 1 f¨ ur Lehramt, Pr¨ ufung am 28.9.2012 (Winkler) Name, Matrikelnummer:

M¨ undliche Pr¨ ufung: Bitte melden Sie sich per e-mail bei reinhard.winkler@tuwien.ac.at zwecks Terminvereinbarung.

Hinweise bevor Sie beginnen:

1. Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

2. Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

1. Auf R ² bezeichne wie ¨ ublich ||.|| 1 die Summen-, ||.|| 2 die euklidische und ||.|| _∞ die Maxi- mumsnorm, d p (x, y) := ||x − y|| p die zugeh¨ orige Metrik. Außerdem bestehe die Menge M p,c

aus jenen Punkten a = (x, y) ∈ [−1, 1] ² ⊆ R ² , f¨ ur die es einen Punkt b = (k, l) mit k, l ∈ Z gibt, so dass d p (a, b) ≤ c gilt. Skizzieren Sie:

(a) die Menge M _1,

1 3

(b) die Menge M _2,

1 2

(c) das Innere der Menge M _∞,

¹

2

in R ² (d) den Rand der Menge M _∞,

1

3

in R ²

(e) Welche der Mengen aus (a), (b), (c) und (d) sind kompakt? (Begr¨ undung)

(f) Wie lautet die Definition von Kompaktheit eines beliebigen topologischen Raumes X?

2. (a) Geben Sie die strenge Definition, was f¨ ur reelle Zahlen x n , n ∈ N , und x die Formel lim _n→∞ x n = x bedeutet.

(b) Geben Sie die rekursive Definition der Partialsummen s n , n ∈ N , der Reihe P ∞ n=1 a n , a n ∈ R .

(c) Geben Sie die strenge Definition, was die Formel P ∞

n=1 a _n = s bedeutet.

(d) Beweisen Sie unter Bezugnahme auf die Definition aus (a): Aus lim n→∞ x n = x und lim n→∞ y n = y folgt lim n→∞ (x n − y n ) = x − y.

(e) Beweisen Sie: Konvergiert eine Reihe P ∞

n=1 a n , a n ∈ R , so bilden ihre Glieder eine Nullfolge. (Hinweis: Sie d¨ urfen lim _n→∞ s n = lim _n→∞ s n+1 und (d) verwenden.) 3. Bezeichne P die Menge aller Primzahlen, P 100 := {p ∈ P : p ≤ 100}. In dieser Aufgabe

soll die Anzahl | P ¹⁰⁰ | bestimmt werden, allerdings nicht durch schlichtes Abz¨ ahlen, sondern durch Einsatz des Inklusions-Exklusionsprinzips. F¨ ur jedes m ∈ N sei V m = {nm : n ∈ N , 0 < nm ≤ 100} und bxc (f¨ ur ein beliebiges x ∈ R) die gr¨ oßte ganze Zahl k ≤ x.

(a) Begr¨ unden Sie: Jede ganze Zahl k > 1, die keine Primzahl ist, besitzt einen Primteiler p mit p ≤ √

k.

(b) Wegen (a) ist eine Zahl k ∈ {2, 3, 4, . . . , 100}, die durch keine der Primzahlen p = 2, 3, 5, 7 teilbar ist, selbst eine Primzahl. Um die Elemente von P 100 zu z¨ ahlen, interes- sieren wir uns zun¨ achst f¨ ur die Menge M := V ₂ ∪ V ₃ ∪ V ₅ ∪ V ₇ . Stellen Sie die Zahl |M | gem¨ aß dem Inklusions-Exklusionsprinzip als alternierende Summe von Kardinalit¨ aten von Schnitten gewisser V _p mit p ∈ {2, 3, 5, 7} dar.

(c) F¨ ur paarweise verschiedene Primzahlen p 1 , . . . , p n und m = Q n

i=1 p i gilt: V m = T n i=1 V p

_i

. Benutzen Sie diese Beziehung, um in der alternierenden Summe aus (b) die auftretenden Schnitte durch geeignete Mengen V _m zu ersetzen.

(d) Bestimmen Sie nun | P 100 |, indem Sie folgendermaßen vorgehen: Begr¨ unden Sie die Be- ziehung | P 100 | = 100 − |M | +|{2, 3, 5, 7}| − |{1}| und verwenden Sie in der in (c) gewon- nenen Darstellung von |M | die offensichtliche Formel |V m | = b ¹⁰⁰ _m c f¨ ur m = 1, 2, . . ..

M¨ undliche Pr¨ ufung: Bitte melden Sie sich per e-mail bei reinhard.winkler@tuwien.ac.at zwecks Terminvereinbarung.

Analysis 1 f¨ ur Lehramt, Pr¨ ufung am 28.9.2012 (Winkler) Name, Matrikelnummer:

M¨ undliche Pr¨ ufung: Bitte melden Sie sich per e-mail bei reinhard.winkler@tuwien.ac.at zwecks Terminvereinbarung.

Hinweise bevor Sie beginnen:

1. Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

2. Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

1. Auf R 2 bezeichne wie ¨ ublich ||.|| 1 die Summen-, ||.|| 2 die euklidische und ||.|| ∞ die Maxi- mumsnorm, d p (x, y) := ||x − y|| p die zugeh¨ orige Metrik. Außerdem bestehe die Menge M p,c

aus jenen Punkten a = (x, y) ∈ [−1, 1] 2 ⊆ R 2 , f¨ ur die es einen Punkt b = (k, l) mit k, l ∈ Z gibt, so dass d p (a, b) ≤ c gilt. Skizzieren Sie:

(a) die Menge M 1,

(b) die Menge M 2,

(c) das Innere der Menge M ∞,

in R 2 (d) den Rand der Menge M ∞,

in R 2

(e) Welche der Mengen aus (a), (b), (c) und (d) sind kompakt? (Begr¨ undung)

(f) Wie lautet die Definition von Kompaktheit eines beliebigen topologischen Raumes X?

2. (a) Geben Sie die strenge Definition, was f¨ ur reelle Zahlen x n , n ∈ N , und x die Formel lim n→∞ x n = x bedeutet.

(b) Geben Sie die rekursive Definition der Partialsummen s n , n ∈ N , der Reihe P ∞ n=1 a n , a n ∈ R .

(c) Geben Sie die strenge Definition, was die Formel P ∞

n=1 a n = s bedeutet.

(d) Beweisen Sie unter Bezugnahme auf die Definition aus (a): Aus lim n→∞ x n = x und lim n→∞ y n = y folgt lim n→∞ (x n − y n ) = x − y.

(e) Beweisen Sie: Konvergiert eine Reihe P ∞

n=1 a n , a n ∈ R , so bilden ihre Glieder eine Nullfolge. (Hinweis: Sie d¨ urfen lim n→∞ s n = lim n→∞ s n+1 und (d) verwenden.) 3. Bezeichne P die Menge aller Primzahlen, P 100 := {p ∈ P : p ≤ 100}. In dieser Aufgabe

soll die Anzahl | P 100 | bestimmt werden, allerdings nicht durch schlichtes Abz¨ ahlen, sondern durch Einsatz des Inklusions-Exklusionsprinzips. F¨ ur jedes m ∈ N sei V m = {nm : n ∈ N , 0 < nm ≤ 100} und bxc (f¨ ur ein beliebiges x ∈ R) die gr¨ oßte ganze Zahl k ≤ x.

(a) Begr¨ unden Sie: Jede ganze Zahl k > 1, die keine Primzahl ist, besitzt einen Primteiler p mit p ≤ √

k.

(c) F¨ ur paarweise verschiedene Primzahlen p 1 , . . . , p n und m = Q n

i=1 p i gilt: V m = T n i=1 V p

. Benutzen Sie diese Beziehung, um in der alternierenden Summe aus (b) die auftretenden Schnitte durch geeignete Mengen V m zu ersetzen.

(d) Bestimmen Sie nun | P 100 |, indem Sie folgendermaßen vorgehen: Begr¨ unden Sie die Be- ziehung | P 100 | = 100 − |M | +|{2, 3, 5, 7}| − |{1}| und verwenden Sie in der in (c) gewon- nenen Darstellung von |M | die offensichtliche Formel |V m | = b 100 m c f¨ ur m = 1, 2, . . ..

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1. Auf R ² bezeichne wie ¨ ublich ||.|| 1 die Summen-, ||.|| 2 die euklidische und ||.|| _∞ die Maxi- mumsnorm, d p (x, y) := ||x − y|| p die zugeh¨ orige Metrik. Außerdem bestehe die Menge M p,c

aus jenen Punkten a = (x, y) ∈ [−1, 1] ² ⊆ R ² , f¨ ur die es einen Punkt b = (k, l) mit k, l ∈ Z gibt, so dass d p (a, b) ≤ c gilt. Skizzieren Sie:

(a) die Menge M _1,

(b) die Menge M _2,

(c) das Innere der Menge M _∞,

in R ² (d) den Rand der Menge M _∞,

in R ²

2. (a) Geben Sie die strenge Definition, was f¨ ur reelle Zahlen x n , n ∈ N , und x die Formel lim _n→∞ x n = x bedeutet.

n=1 a _n = s bedeutet.

n=1 a n , a n ∈ R , so bilden ihre Glieder eine Nullfolge. (Hinweis: Sie d¨ urfen lim _n→∞ s n = lim _n→∞ s n+1 und (d) verwenden.) 3. Bezeichne P die Menge aller Primzahlen, P 100 := {p ∈ P : p ≤ 100}. In dieser Aufgabe

soll die Anzahl | P ¹⁰⁰ | bestimmt werden, allerdings nicht durch schlichtes Abz¨ ahlen, sondern durch Einsatz des Inklusions-Exklusionsprinzips. F¨ ur jedes m ∈ N sei V m = {nm : n ∈ N , 0 < nm ≤ 100} und bxc (f¨ ur ein beliebiges x ∈ R) die gr¨ oßte ganze Zahl k ≤ x.

. Benutzen Sie diese Beziehung, um in der alternierenden Summe aus (b) die auftretenden Schnitte durch geeignete Mengen V _m zu ersetzen.

(d) Bestimmen Sie nun | P 100 |, indem Sie folgendermaßen vorgehen: Begr¨ unden Sie die Be- ziehung | P 100 | = 100 − |M | +|{2, 3, 5, 7}| − |{1}| und verwenden Sie in der in (c) gewon- nenen Darstellung von |M | die offensichtliche Formel |V m | = b ¹⁰⁰ _m c f¨ ur m = 1, 2, . . ..