Algebra, Pr¨ufung am 23.6.2015, Winkler

Algebra, Pr¨ ufung am 23.6.2015, Winkler Name, Matrikelnummer (bitte ausf¨ ullen):

M¨ undliche Pr¨ ufung: Die Termineinteilung f¨ ur die m¨ undliche Pr¨ ufung wird sp¨ atestens unmit- telbar nach der schriftlichen Pr¨ ufung fixiert. Bereits vor der Pr¨ ufung angegebene W¨ unsche werden mit h¨ oherer Priorit¨ at ber¨ ucksichtigt.

Vereinbarter Termin (nach der schriftlichen Pr¨ ufung auszuf¨ ullen):

Hinweise bevor Sie beginnen:

Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

Vergessen Sie nicht auf die R¨ uckseite der Angabe.

1. In der folgenden Aufgabe sind alle Ringe als Ringe mit 1 zu verstehen, d.h. insbesondere dass Homomorphismen das Einselement stets auf das Einselement abbilden. P ∼ = Z

bezeichne einen K¨ orper mit 7 Elementen. Gegeben seien die Polynome f (x) := x

+2 und g(x) := x

+6 aus P [x]. Mit I

sei das von f erzeugte Ideal in P[x] bezeichnet, mit I

das von g erzeugte.

(a) Untersuchen Sie f und g auf Irreduzibilit¨ at und zerlegen Sie im reduziblen Fall in irreduzible Faktoren.

(b) Wieviele konstante Polynome und wieviele Polynome vom Grad 3 sind in I

enthalten?

(c) Seien ϕ

: P [x] → R

und ϕ

: P [x] → R

surjektive Homomorphismen mit kern(ϕ

) = I

und kern(ϕ

) = I

. Bestimmen Sie die Anzahlen |R

| und |R

|.

(d) Zwischen folgenden sechs Klassen K

, i = 1, . . . , 6, von Ringen gilt eine Inklusionskette K

⊆ K

⊆ K

⊆ K

⊆ K

⊆ K

: K¨ orper, faktorielle Ringe, kommutative Ringe mit 1, Integrit¨ atsbereiche, Hauptidealringe, euklidische Ringe. Geben Sie die korrekte Zuordnung an.

(e) Geben Sie f¨ ur jeden der Ringe P , P[x], P [x, y], R

und R

(die letzten beiden aus Teilaufgabe (c)) die kleinste der Klassen K

aus Teilaufgabe (d) an, der er angeh¨ ort.

(f) Geben Sie f¨ ur jene Ringe aus Teilaufgabe (e), die kein Integrit¨ atsbereich sind (soferne es solche gibt), ein Paar von Nullteilern a und b mit ab = 0 an.

(g) Geben Sie f¨ ur jene Ringe aus Teilaufgabe (e), die faktoriell aber kein K¨ orper sind (soferne es solche gibt), ein irreduzibles Element an.

(h) Geben Sie f¨ ur jene Ringe aus Teilaufgabe (e), die euklidisch sind (soferne es solche gibt), eine euklidische Bewertungsfunktion an.

(i) Gibt es einen Homomorphismus ϕ : P [x] → P , der nicht konstant ist? Wenn ja, geben Sie einen solchen an; wenn nein, begr¨ unden Sie dies.

(j) Gibt es einen Homomorphismus ψ : R

→ P [x], der nicht konstant ist? Wenn ja, geben Sie einen solchen an; wenn nein, begr¨ unden Sie dies.

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2. Sei K die Klasse aller Algebren (A, +

, 0

, a

, b

) vom Typ (2, 0, 0, 0), f¨ ur die (A, +

, 0

) ein abelsches Monoid ist und wo das Gesetz a

+ b

= 0

gilt. Wir fassen die Elemente von K in gewohnter Weise auch als Objekte einer Kategorie auf, deren Morphismen die Homomorphismen sind und deren Komposition ebenfalls die ¨ ubliche Abbildungskomposition ist.

(a) Ist K eine Variet¨ at? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort anhand der Definition des Begriffs der Variet¨ at.

(b) ( N , +, 0) ist ein abelsches Monoid. Welche M¨ oglichkeiten bestehen, a

und b

so zu definieren, dass ( N , +, 0, a

, b

) ∈ K?

(c) Zu jeder ganzen Zahl k gibt es genau eine M¨ oglichkeit, b

so zu w¨ ahlen, dass Z (k) :=

( Z , +, 0, k, b

) ∈ K.

Geben Sie die Tr¨ agermenge U

der kleinsten Unteralgebra von Z (k) an. (U

ist also definitionsgem¨ aß der Durchschnitt aller Unteralgebren von Z (k).)

(d) Sei X eine beliebige Menge mit 0 ∈ / X und X

:= X ∪ {0}. F bezeichne die Menge aller Funktionen f : X

→ Z mit f (x) ∈ N f¨ ur alle x ∈ X und f (x) 6= 0 f¨ ur h¨ ochtens endlich viele x ∈ X. Weiters sei a

∈ F definiert durch a

(0) := 1 und a

(x) := 0 f¨ ur alle x ∈ X . Die bin¨ are Operation +

auf F sei punktweise definiert, ebenso das Nullelement 0

∈ F .

Wie muss man b

∈ F definieren, damit F := (F, +

, 0

, a

, b

) ∈ K?

(e) Definieren Sie eine Abbildung ι : X → F so, dass F aus Teilaufgabe (d) frei ¨ uber (X, ι) ist. Es gen¨ ugt, wenn Sie f¨ ur alle x ∈ X das Bild f

:= ι(x) durch Angabe des Wertes f

(x

) f¨ ur beliebiges x

∈ X

definieren.

(f) Begr¨ unden Sie, warum die von Ihnen in (e) angegebene Abbildung ι tats¨ achlich die dort geforderte Eigenschaft hat. Dazu gen¨ ugt es, wenn Sie zu einer beliebig vorgegebenen Abbildung j : X → A mit A = (A, +

, 0

, a

, b

) ∈ K einen Homomorphismus ϕ : F → A von F nach A definieren, der die geforderte Eigenschaft (welche ?) hat.

(g) In K gibt es ein initiales Objekt. Geben Sie ein solches an.

(h) In K gibt es ein terminales Objekt. Geben Sie ein solches an.

(i) Sei A = (A, +

, 0

) ein regul¨ ares abelsches Monoid und a

∈ A. Dann gibt es ein B = (B, +

, 0

, a

, b

) ∈ K und eine isomorphe Einbettung ι : A → B von A ins abelsche Monoid (B, +

, 0

) mit ι(a

) = a

.

Beschreiben Sie so ein B samt ι. Aus der Vorlesung bekannte Strukturen d¨ urfen dabei als bekannt vorausgesetzt und verwendet werden.

(j) Sei A = (A, +

, 0

) ein regul¨ ares abelsches Monoid und a

∈ A. Die Kategorie K

(A) = K

sei wie folgt definiert: Die Objekte von K

sind s¨ amtliche Paare (B, ϕ), f¨ ur die B = (B, +

, 0

, a

, b

) ∈ K und ϕ : A → B ein Homomorphismus zwischen den Algebren (A, +

, 0

, a

) und (B, +

, 0

, a

) vom Typ (2, 0, 0) ist. S¨ amtliche K

-Morphismen von (B

, ϕ

) nach (B

, ϕ

) seien gegeben durch jene K-Homomorphismen ψ von B

nach B

, f¨ ur die ϕ

= ψ ◦ ϕ

gilt. Die Komposition von Morphismen ist die von Abbildungen.

Gibt es in der Kategorie K

jedenfalls (d.h. f¨ ur alle A) initiale Objekte? Wenn ja, beschreiben Sie f¨ ur beliebig vorgegebenes A ein solches; wenn nein, geben Sie ein A an, f¨ ur welches es in K

kein initiales Objekt gibt.

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