D-CHAB/D-BIOL Grundlagen der Mathematik II FS 2008 Dr. M. Dettling
Pr¨ ufung: Lineare Algebra + Statistik
19.01.2009
L¨osungen:
1. a): Die Matrix A ist singul¨ar falls detA = 0 gilt. Entwicklung nach der ersten Zeile ergibt detA= (t2+ 2)−3(4−t) =t2+ 3t−10 = (t+ 5)(t−2). Die Matrix ist also singul¨ar, falls t=−5 oder t= 2 gilt.
b): F¨ur t 6= −5,2 ist der Rang von A maximal und somit besitzt das Glei- chungssystem eine eindeutige L¨osung. Um die zwei anderen F¨alle zu untersuchen, bringen wir die mit b erweiterte Matrix f¨urt =−5,2 auf Stufenform:
1 0 −3 −3 2 −5 −1 −2
1 2 −5 1 →
1 0 −3 −3
0 −5 5 4
0 2 −2 4 →
1 0 −3 −3 0 1 −1 2
0 0 0 14
und 1 0 −3 −3
2 2 −1 −2
1 2 2 1
→
1 0 −3 −3
0 2 5 4
0 2 5 4
→
1 0 −3 −3
0 2 5 4
0 0 0 0
.
Folglich hat das Gleichungssystem f¨ur t = −5 keine L¨osung und f¨ur t = 2 unendlich viele L¨osungen.
c)Mit dem ¨ublichen Verfahren erh¨alt man f¨ur die Inverse vonA, welche f¨urt= 1 die Form
A=
1 0 −3 2 1 −1
1 2 1
hat, die Matrix
A−1 = 1 6
−3 6 −3 3 −4 5
−3 2 −1
.
d) Allgemein: falls Av = λv mit λ ∈ gilt, ist v ein Eigenvektor von A mit Eigenwert λ. F¨urv1 hat man
1 0 −3 2 5 −1
1 2 5
−2 1 0
=
−2 1 0
= 1·
−2 1 0
.
Bitte wenden!
Folglich istv1 ein Eigenvektor mit Eigenwert eins. F¨urv2 gilt
1 0 −3 2 5 −1
1 2 5
3 1 1
=
0 10 10
.
Da der letzte Vektor nicht der Formλv2 ist, istv2 kein Eigenwert von A.
2.) a): Drei Vektoren spannen einen Raum mit Dimension h¨ochstens drei auf.
b): Wegen
1 0 1 0 1 1
−1 1 0 1 2 1 2 3 0
→
1 0 0
0 1 0
−1 1 0 1 2 −2 2 3 −5
sind die drei Vektoren linear unabh¨angig; die Dimension ist daher 3.
c): In der vorigen Aufgabe habe wir eine Basis bestimmt; auch u1, u2, u3 bilden eine Basis.
d): Aufgrund der bereits durchgef¨uhrten Umformung inb)l¨asst sich die Erg¨anzung leicht durchf¨uhren, indem man z.B. die kanonischen Basisvektoren u4 =e3 und u5 =e5 hinzugibt.
3. a):x±z1−
0.05 2 σ/√
n = 1.2±1.96·0.002/3 = 1.2±1.96·0.00067 = 1.1987,1.2013 b): Da 1.2008 im 95%-Vertrauensintervall liegt wird die Nullhypothese H0 :µ= 1.2008 gegen¨uber der Alternative HA : µ 6= 1.2008 auf dem Niveau von 5%
angenommen.
c): Der Wert der Teststatistik T = (x−µ)√
n/σ istt =−1.19403. Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass die unter H0 standard-normalverteilte Zu- fallsvariableT kleines alst oder gr¨osser als−tist. Dieser Wert ist 2(1−Φ(|t|)) = 2(1−0.883) = 0.234. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wert beobachtet wird unter der Annahme der Richtigkeit von H0 ist also ca. 25%.
d):x±t1−
α
2,n−1sx/√
9 = 1.2±2.31·0.0008/3 = 1.1994,1.2006
4. a): Aus den Daten sieht man sofort, dass eine Parabel das naheliegendste ist;
also ii).
b): In der ersten Spalte der Tabelle stehen die vorkommenden Funktionen; sie sind 1, D, D2, also istV =a+bD+cD2 und somit wurde eine Parabel gew¨ahlt;
also wiederii).
c): Man kann den statistischen Test c = 0 durchf¨uhren; der P-Wert steht in der Tabelle und ist sehr klein, insbesondere kleiner als 0.05 und somit wird Nullhypothese zugunsten der Alternative c 6= 0 verworfen. Das Auftreten des quadratischen Termes ist also signifikant; alsoi) .
d):V = 3.1944 + 0.4532−0.7814 = 2.87; somit iii).
e): 0.4532±t0.975,9−30.0128 = 0.4532±2.45·0.0128 = 0.4218,0.4846
