D-CHAB/D-BIOL Grundlagen der Mathematik II SS 2007 Dr. M. Dettling
Pr¨ufung: Lineare Algebra + Statistik
Pr¨ufungsmodus: Schriftlich, 60 Minuten.
Hilfsmittel:Erlaubt sind beliebige schriftliche Hilfsmittel.
Kein Taschenrechner! Keine Handys!
• Verwende f¨ur jede der vier Aufgaben ein neues Blatt Papier!
• Multiple Choice Aufgaben:Aufgabe1.enth¨alt Multiple-Choice-Komponenten.
Bei jeder Teilaufgabe ist genau 1 Antwort richtig. Jede richtige Antwort ergibt 1 Punkt, jede falsche Antwort ergibt einen halben Punkt Abzug. Die Summe der Punktzahlen der Multiple-Choice-Komponenten wird, falls negativ, auf 0 aufge- rundet.L¨osungen von Multiple-Choice Teilaufgaben auf das beiliegende Extrablatt eintragen!
• Die Rechungen in Aufgaben 3. und 4. auf 2 Stellen nach dem Komma genau ausrechnen. Jede Gr¨osse darf auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet werden.
• Beachte das beiligende Blatt mit Tabellen zur Normal- und t-Verteilung.
1. Betrachte das lineare Gleichungssystem x1 +2x2 +3x4 +4x5 = 0 2x1 +5x2 +6x3 +4x4 +9x5 = 0 x1 +3x2 +6x3 +3x5 = 0 2x1 +7x2 +18x3 −3x4 +5x5 = 0 x1 +4x2 +12x3 −4x4 = 0.
a) (3 P.) Bringe das Gleichungssystem auf allgemeine Zeilenstufenform.
b) (2 P.) Gib eine Basis des L¨osungsraumes an.
L¨osungen zu den folgenden Multiple-Choice Teilaufgaben c) bis f) auf das beiliegende Extrablatt eintragen!
c) Wieviele Pivots hat dieses lineare Gleichungssystem?
i) 2 ii) 3 iii) 4 iv) 5
d) Wie gross ist die Dimension des Unterraums, welcher durch die Zeilen der Koeffizienten-Matrix M des Gleichungssystems aufgespannt wird?
Bitte wenden!
i) 1 ii) 2 iii) 3 iv) 4 v) 5 e) Berechne die Determinante der Matrix M.
i) 9 ii) 6 iii) -2 iv) 0 v) -10
f) Wie gross ist die Dimension des Raums der Vektoren, welche durch die MatrixM auf 0 abegbildet werden?
i) 1 ii) 2 iii) 3 iv) 4 v) 5
2. Gegeben sind die folgenden Matrizen:A:=
0 0 1 1 −1 2 1 −1 1
undB :=
µ 0 −2
−1 1
¶ .
a) (2 P.) Berechne A3.
b) (4 P.) Berechne die Eigenwertevon A und B.
c) (2 P.) Berechne die Eigenvektorenvon B.
3. Die Reissfestigkeit von Kettengliedern ist normalverteilt mit Standardabwei- chung σ = 5 kg. Der Erwartungswert µ der Reissfestigkeit (in kg) kann durch Material¨anderungen beeinflusst werden, dabei wird σ nicht ver¨andert.
a) (3 P.) Wie gross ist der Erwartungswert mindestens zu w¨ahlen, damit h¨ochstens 33% der Kettenglieder eine Festigkeit von weniger als 100 kg haben?
b) (3 P.) Wir nehmen nun an, die wahre Reissfestigkeit jedes einzelnen Ketten- glieds betrage µ= 101 kg, mit einer Standardabweichung von immer noch σ= 5 kg.
Aus einer Lieferung von Kettengliedern wird eine Stichprobe von 25 St¨uck entnommen und auf die Festigkeit getestet.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei ein Mittelwert von weniger als 100 kg beobachtet wird?
c) (4 P.) In der Teilaufgabe b) hast Du wesentliche Teile eines statistischen Tests f¨ur die Nullhypothese µ0 = 100 kg mit bekannter Varianz σ durch- gef¨uhrt.
Gib f¨ur den dazugeh¨origen, zweiseitigen Test auf dem 95%-Niveau die Alternativhypothese, den Wert der Teststatistik, die Testentscheidung und den p-Wert an.
Hinweis: Falls du Aufgabe b) nicht l¨osen konntest, so nehme f¨ur die Auf- gabe c) an, das Resultat sei 20% (willk¨urlicher Wert, der nichts mit der tats¨achlichen L¨osung gemein hat).
Siehe n¨achstes Blatt!
4. Igel fressen bekanntlich Schnecken. In einer Studie wurde die H¨aufigkeit von Igeln und Schnecken in 10 Quartieren der Stadt Winterthur ermittelt. Weil die Quar- tiere nicht gleich gross sind, wurde jeweils die H¨aufigkeit pro Fl¨acheneineheit ermittelt: Igel pro Quadratkilometer, Schnecken pro Quadratmeter.
Es wurde nun eine Regression mit Schnecken als Ausgangsgr¨osse und Igel als Zielvariable gerechnet. Deren unvollst¨andiger Computeroutput sieht wie folgt aus:
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
Intercept 5.95 10.528 ... 0.58751
Schnecken 4.50 1.152 3.899 ...
Residual standard error: 14.00 on 8 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.6552, Adjusted R-squared: 0.6121 F-statistic:15.2 on 1 and 8 DF, p-value: ...
a) (2 P.) Wie gross ist die Residuenquadratsumme dieser Regression?
b) (2 P.) Welchen Wert hat das Residuum f¨ur das Quartier Sonnenberg, wo 7.2 Schnecken pro Quadratmeter und 54.0 Igel pro Quadratkilometer beobachtet wurden?
c) (2 P.) Ein Biologe behauptet, wo es keine Schnecken gebe, w¨urden auch keine Igel leben. Kannst Du diese Aussage aufgrund der Studie statistisch gesichert widerlegen?
Bitte gib eine Begr¨undung an.
d) (2 P.) Wie gross ist der p-Wert f¨ur die Steigung, d.h., f¨ur den Parameter β bzw. die Schnecken gem¨ass Tabelle der t-Verteilung h¨ochstens? Kann man daraus schliessen, dass ein statistisch signifikanter Zusammenhang zwischen der Menge an Igeln und Schnecken besteht?
