D-CHAB/D-BIOL Grundlagen der Mathematik II FS 2008 Dr. M. Dettling
Pr¨ ufung: Lineare Algebra + Statistik
19.01.2009
Pr¨ufungsmodus: Schriftlich, 60 Minuten.
Hilfsmittel:Erlaubt sind beliebige schriftliche Hilfsmittel.
Kein Taschenrechner! Keine Handys!
• Verwende f¨ur jede der vier Aufgaben ein neues Blatt Papier!
• Multiple Choice Aufgaben:Aufgabe4.enth¨alt Multiple-Choice-Komponenten.
Bei jeder Teilaufgabe ist genau 1 Antwort richtig. Jede richtige Antwort ergibt 1 Punkt, jede falsche Antwort ergibt einen halben Punkt Abzug. Die Summe der Punktzahlen der Multiple-Choice-Komponenten wird, falls negativ, auf 0 aufge- rundet.L¨osungen von Multiple-Choice Teilaufgaben auf das beiliegende Extrablatt eintragen!
• Die Rechungen in Aufgabe 3. auf 4 Stellen und in Aufgabe 4. auf 2 Stellen nach dem Komma genau ausrechnen. Jede Gr¨osse darf entsprechend auf 4 bzw.
2 Stellen nach dem Komma gerundet werden.
• Beachte das beiliegende Blatt mit Tabellen zur Normal- und t-Verteilung.
Bitte wenden!
1. Gegeben sei f¨ur t∈Rdie Matrix bzw. die Vektoren
A=
1 0 −3 2 t −1
1 2 t
, b =
−3
−2 1
, v1 =
−2 1 0
, v2 =
3 1 1
.
a) (2 P.) F¨ur welche Werte von t∈Rist die Matrix A singul¨ar?
b) (3 P.) F¨ur welche t ∈ R hat das Gleichungssystem Ax =b eine eindeutige L¨osung, keine L¨osung bzw. unendlich viele L¨osungen?
c) (3 P.) Bestimme f¨ur t= 1 die inverse Matrix A−1.
d) (2 P.) Antworte mit Begr¨undung: Sind f¨ur t = 5 die Vektoren v1 und v2 Eigenvektoren vonA? Wenn ja, wie lautet der zugeh¨orige Eigenwert?
2. Gegeben sind die folgenden Vektoren imR5:
u1 =
1 0
−1 1 2
, u2 =
0 1 1 2 3
, u3 =
1 1 0 1 0
.
a) (1 P.) Antworte ohne zu rechnen: Wie gross ist die Dimension des Unter- raumesU h¨ochstens? Begr¨unde deine Antwort.
b) (1 P.) Berechne nun die tats¨achliche Dimension von U. c) (2 P.) Bestimme eine Basis des Unterraumes U.
d) (2 P.) Erg¨anze die gefundene Basis zu einer Basis des R5.
3. Eine von einem Arbeiter zu bedienende Maschine erzeugt Rundst¨abe, welche je nach Einstellung unterschiedliche Durchmesserµhaben k¨onnen. Wir nehmen an, dass die dabei auftretenden Fehler unabh¨angig und normalverteilt mit Mittel- wertµ und Standardabweichung σ = 0.0020mm sind. Nach einem Neustart der Maschine ergaben die ersten 9 St¨abe einen Mittelwert vonx= 1.2mm.
a) (2 P.) Berechne eine 95%-Vertrauensintervall f¨ur den Mittelwert.
b) (3 P.) Nimm an, dass der Arbeiter die Maschine f¨ur St¨abe mit Durchmesser µ= 1.2008mm justiert hat. Teste auf dem Niveau von 5%, ob die Maschine richtig arbeitet; gib dazu Nullhypothese, Alternative und Testentscheidung (welche aus der Antwort zu Teilaufgabea) abgeleitet werden darf) an.
c) (3 P.) Wie gross ist der P-Wert?
Siehe n¨achstes Blatt!
d) (2 P.) Nimm jetzt, dass die Standardabweichung ebenfalls unbekannt ist und dass in einer Stichprobe von 9 St¨aben x = 1.2mm und sX = 0.0008 war.
Berechne nun wieder das 95%-Vertrauensintervall f¨ur den Mittelwert.
4. Die folgenden Daten geben den Wasserdurchfluss V des Mississippi in Meter pro Sekunde abh¨angig von unterschiedlichen Messtiefen ausgedr¨uckt durch den Quotienten D von gemessener Tiefe zur Tiefe des Flusses.
D 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
V 3.195 3.230 3.253 3.261 3.252 3.228 3.181 3.127 3.059 Mittelwerte und empirische Varianz:
D= 0.4,σ˜2D = 0.075(=s2D), V = 3.1916,σ˜V2 = 0.0047(=s2V)
L¨osungen zu den folgenden Multiple-Choice Teilaufgaben a), b), c) und d) auf das beiliegende Extrablatt eintragen!
a) Zeichne die Daten. Welche Interpolationsfunktion erscheint dir naheliegend.
i) Gerade ii) Parabel iii) Kubisches Polynom iv) Exponentialfunktion v)Logarithmus
b) Welche Interpolationsfunktion wurde verwendet, wenn der Computeroutput folgendermassen aussieht?
ParameterTable→
Estimate SE TStat PValue 1 3.1944 0.0022 1428.66 3.1086·10−15 D 0.4532 0.0128 35.5153 3.3308·10−7 D2 -0.7814 0.0155 -50.3749 5.8264·10−8
,
RSquared→0.9989, Residual Standard Error→0.0026 i) Gerade ii) Parabel iii) Kubisches Polynom iv) Exponentialfunktion v)Logarithmus
c) Ist diese Wahl einer Geraden wirklich signifikant vorzuziehen?
i) Ja ii) Nein
iii) Mit den vorliegenden Informationen nicht zu entscheiden d) Berechne V f¨urD= 1 mit der Interpolationsfunktion aus b).
i) 3.19 ii) 35.51 iii) 2.87 iv) 1.00 v)2.45
e) (2 P.) Gib eine 95%-Vertrauensintervall f¨ur den Koeffizienten des linearen Terms in der Regressionsfunktion aus b) an.
