Pr¨ufung: Lineare Algebra + Statistik

(1)

D-CHAB/D-BIOL Grundlagen der Mathematik II SS 2007 Dr. M. Dettling

Pr¨ ufung: Lineare Algebra + Statistik

Pr¨ufungsmodus: Schriftlich, 60 Minuten.

Hilfsmittel:Erlaubt sind beliebige schriftliche Hilfsmittel.

Kein Taschenrechner! Keine Handys!

• Verwende f¨ur jede der vier Aufgaben ein neues Blatt Papier!

• Multiple Choice Aufgaben: Aufgaben 1. und 3. enthalten Multiple-Choice- Komponenten. Bei jeder Teilaufgabe ist genau 1 Antwort richtig. Jede richtige Antwort ergibt 1 Punkt, jede falsche Antwort ergibt einen halben Punkt Abzug.

Die Summe der Punktzahlen der Multiple-Choice-Komponenten pro Aufgabe wird, falls negativ, auf 0 aufgerundet. L¨osungen von Multiple-Choice Tei- laufgaben auf das beiliegende Extrablatt eintragen!

• Die Rechungen in Aufgaben 3. und 4. auf 2 Stellen nach dem Komma genau ausrechnen. Jede Gr¨osse darf auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet werden.

• Beachte das beiligende Blatt mit Tabellen zur Normal- und t-Verteilung.

1. Betrachte das lineare Gleichungssystem, welches durch die folgende Koeffizien- tenmatrix gegeben ist:







1 3 1 2 1 2 6 4 2 3 1 3 3 5 4 3 9 3 11 5 3 9 3 6 3







a) (3 P.) Bringe die Matrix auf allgemeine Zeilenstufenform.

L¨osungen zu den folgenden Multiple-Choice Teilaufgaben b) bis g) auf das beiliegende Extrablatt eintragen!

b) Wieviele L¨osungen hat das zugeh¨orige lineare Gleichungssystem?

i) keine ii) genau eine iii) unendlich viele

iv) kann ohne rechte Seite nicht entschieden werden

Bitte wenden!

(2)

c) Zu diesem linearen Gleichungssystem existiert eine eindeutige L¨osung:

i) nie ii) immer

iii) h¨angt von der rechten Seite ab

d) Wieviele Pivots hat dieses lineare Gleichungssystem?

i) 2 ii) 3 iii) 4 iv) 5

e) Bestimme den Rang dieses linearen Gleichungssystems i) 2 ii) 3 iii) 4 iv) 5 v) 0

f ) Berechne die Determinante der zugeh¨origen Matrix i) 3 ii) 11 iii) -2 iv) 10 v) 0

g) Wie gross ist die Dimension des Unterraums, welcher durch die Zeilen der Matrix aufgespannt wird?

i) 1 ii) 2 iii) 3 iv) 4 v) 5

2. Gegeben sind die folgenden orthogonalen Matrizen: A :=

+√

2/2 −√ 2/2 +√

2/2 +√ 2/2

und B :=

−√

2/2 −√ 2/2 +√

2/2 −√ 2/2

.

a) (3 P.) Berechne das Matrixprodukt 3·AB.

b) (2 P.) Berechne AB(AB)^T.

c) (4 P.) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von 3·AB.

d) (2 P.) Jede Matrix definiert eine lineare Abbildung. Charakterisiere jene der Matrix 3·AB. Was bewirkt sie geometrisch?

3. Die Zartheit von Rindfleisch wird durch einen Scherkraftindex in Newton gemessen. Der Grenzwert f¨ur ausreichend zartes Rindfleisch liegt bei 40N, wobei Fleisch von K¨uhen in Weidehaltung in der Regel tiefere Werte erreicht als solches von Tieren in Stallhaltung.

Aus Untersuchungen wissen wir, dass die Zartheit des Fleisches von K¨uhen mit Weidehaltung einer Normalverteilung mit µ = 35N und Standardabweichung σ= 3 folgt.

a) (2 P.) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Fleisch eines Tieres aus Weidehaltung einen Scherkraftindex von 40N ubersteigt.¨

Hinweis: Transformation zur Standard-Normalverteilung.

Siehe n¨achstes Blatt!

(3)

Es trifft nun eine Ladung Fleisch ein, von welcher man nicht weiss, ob sie aus Weide- oder aus Stallhaltung stammt. Es wird der Scherkraftindex von 9 Tieren gemessen. Danach soll mit einem statistischen Test entschieden werden, ob die Werte der oben angegebenen Normalverteilung von Tieren aus Weidehaltung entsprechen.

Werte: 37.3, 40.6, 40.4, 35.8, 37.9, 40.4, 37.8, 39.4, 42.0

Mittelwert: 39, Empirische (gesch¨atzte) Standardabweichung: 2

L¨osungen zu den folgenden Multiple-Choice Teilaufgaben b), c), e), f ) und h) auf das beiliegende Extrablatt eintragen!

b) Wie lautet die korrekte Nullhypothese?

i) µ0 = 39 ii) µ0 <39 iii) µ0 = 35 iv) µ0 >35 v) keine dieser M¨oglichkeiten

c) Wie lautet die korrekte Alternativhypothese f¨ur den zweiseitigen Test?

i) µ₀ 6= 35 ii) µ₀ >35 iii) µ₀ <39 iv) µ₀ 6= 39 v) keine dieser M¨oglichkeiten

d) (2 P.) Berechne nun den Wert der t-Test-Statistik.

e) Der kritische (Tabellen)wert f¨ur diesen Test auf dem 5%-Niveau ist i) t_8;0.90 ii) t_8;0.95 iii) t_8;0.975

iv) t_9;0.90 v) t_9;0.95 vi) t_9;0.975

f ) Nehme an, der Annahmebereich f¨ur den vorliegenden Test seiA= [33.5,36.5].

Dann wird

i) die Nullhypothese beibehalten ii) die Nullhypothese verworfen iii) die Alternativhypothese verworfen iv) die Alternativhypothese beibehalten

v) mit diesen Angaben ist noch keine Aussage m¨oglich

g) (2 P.) Berechne unter der Annahme, dass die Einzelbeobachtungen einer Normalverteilung mit µ= 35 undσ = 3 folgen, die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel aus 9 unabh¨angigen Beobachtungen einen Wert von 36 ¨ubersteigt.

h) Zuletzt nehmen wir an, beim Übertragen des ersten Messwerts von 37.3 sei ein Fehler passiert, und er betrage in Wirklichkeit 42.3. Wie verändert sich der p-Wert gegenüber dem ursprünglichen Test, falls mit dem korrigierten ersten Datenpunkt erneut ein t-Test durchführgeführt wird?

i) wird kleiner ii) wird gr¨osser iii) bleibt gleich iv) kann mit den vorliegenden Angaben nicht entschieden werden

Bitte wenden!

(4)

4. Die durch einen Indexwert gemessene Luftdurchl¨assigkeit von Gleitschirm-T¨uchern nimmt (in einem begrenzten Zeitraum) linear mit der Anzahl Flugstunden zu.

Man kann deshalb das folgende Regressionsmodell annehmen:

Luftdurchl¨assigkeit_i =α+β·Flugstunden_i+ε_i, wobei ε_i ∼N(0, σ²) Nun wurden in der Praxis Beobachtungen gemacht und daran das Regressions- modell angepasst. Der Computeroutput sieht wie folgt aus:

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 57.26 8.384 6.830 5.77e-07 ***

Flugstunden 0.50 0.056 8.929 3.49e-08 ***

Residual standard error: 20.00 on 23 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.74, Adjusted R-squared: 0.73 F-statistic: 65.55 on 1 and 23 DF, p-value: 3.49e-08

a) (1 P.) Mit wievielen Beobachtungen wurde die Regression gerechnet?

b) (2 P.) Wieviel beträgt der durch das Regressionsmodell vorhergesagte Luft- durchlässigkeitswert für einen Gleitschirm mit x₀ = 130 Flugstunden?

c) (2 P.) Bestimme nun ein 95%-Vertrauensintervall f¨ur diese Vorhersage, mit x= 130.

d) (2 P.) Bestimme ebenfalls ein 95%-Vertrauensintervall f¨ur den Parameterβ.

e) (1 P.) Was bedeutet das Resultat, das in der Aufgabe d)errechnet wurde?

Hinweis: Diese Teilaufgabe kann mit einem scharfen Blick auf den Regres- sionsoutput auch ohne L¨osen der Teilaufgabed) beantwortet werden.