ETH Z¨urich Pr¨ufungssession Herbst 2006
D-CHEM, D-BIOL Prof.K¨unsch
Lineare Algebra und Statistik
Zeit:Es ist eine Stunde innerhalb der Gesamtpr¨ufung vorgesehen.
1. (8 Punkte) Wir betrachten die Matrix
A=
1 1 2 1
2 −1 −5 −4
4 1 −1 −2
.
a)Geben Sie an, welche der folgenden drei Matrizen gleich sind:
ATA, AAT, (ATA)T. Hinweis: Es ist nicht n¨otig, die Matrizen zu berechnen.
b) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung des Gleichungssystems
A x=
8 7 23
.
c) Geben Sie den Rang von A und eine Basis des Spaltenraums vonA an.
2. (9 Punkte) Gegeben ist die Matriz
A=
2 6 6 −7
.
a)Berechnen Sie die Eigenwerteλ1, λ2 von Aund die dazugeh¨origen Eigenvektoren u(1), u(2).
b)Welches Vorzeichnen haben die beiden Komponenten b1 und b2 des Vektors
b=A99 1
0
?
c)B sei eine andere (2×2)-Matrix mit den gleichen Eigenvektoren u(1), u(2) wie A, aber Eigenwerten µ1 6=λ1, µ2 6=λ2. Zeigen Sie, dass dann die Matrix AB ebenfalls die Eigenvektoren u(1), u(2) hat. Welches sind die zugeh¨origen Eigenwerte von AB ?
3. (12 Punkte) In einer Untersuchung wurden der TreibstoffverbrauchYi (10−2`/km) und das Gewichtxi (kg) von 67 verschiedenen Autotypen bestimmt. Die folgenden zwei Modelle wurden mit Mathematica an die Daten angepasst:
(1) Yi =β0+β1xi+Ei mit Ei unabh. ∼N(0, σE2)-verteilt
(2) logYi =γ0+γ1logxi+Ei
mit Ei unabh. ∼N(0, σ2
E)-verteilt.
Die Ergebnisse und die Darstellung Residuen gegen angepasste Werte finden Sie am Schluss der Aufgabe.
a)Wie gross ist der vom Modell (1) vorhergesagte Verbrauch f¨ur einen Wagen mit Gewicht 1000 kg ? Ein Wagen in der Studie hatte das Gewicht 1000 kg und einen Verbrauch von 9.6 ` pro 100 km. Wie gross ist das zugeh¨orige Residuum? (Werte auf 1 Stelle nach dem Komma).
b) Was schliessen Sie aus den P-Werten f¨ur die Koeffizienten β0 und β1 im Modell (1)?
c)Schreiben Sie das Modell (2) um in eine Beziehung zwischen den untransformier- ten Gr¨ossen Yi und xi. Weshalb ist der Wert γ1 = 1 ein besonders interessanter Spezialfall?
d) Berechnen Sie ein approximatives 95%-Vertrauensintervall f¨ur den Koeffizienten γ1 in Modell (2). Liegt der Wertγ1 = 1 in diesem Intervall ?
e) W¨urden Sie Modell (1) oder Modell (2) vorziehen? Auf welchem Kriterium be- ruht Ihr Entscheid?
f )Wie k¨onnen Sie m¨ogliche Ausreissen in diesem Datensatz erkennen? Gibt es sol- che?
