M¨ undliche Pr¨ ufung (bitte ankreuzen):

(1)

Analysis 2 f¨ ur Lehramt, Pr¨ ufung am 28.9.2012 (Winkler) Name, Matrikelnummer:

M¨ undliche Pr¨ ufung (bitte ankreuzen):

◦ Mi, 3.10., 16 Uhr (Freihaus, gr¨ uner Turm, 5.Stock, Pr¨ ufungs- und Besprechungsraum)

◦ Ab 8.10., ich melde mich per e-mail an reinhard.winkler@tuwien.ac.at zwecks Terminvereinba- rung.

Hinweise bevor Sie beginnen:

1. Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

2. Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

1. Gegeben sei die Funktion f : [0, 1] → R durch f ( ₂ ^k

n

) = _n+1 ¹ f¨ ur k, n ∈ N , k ungerade (dyadische Punkte in gek¨ urzter Darstellung), und f (x) = 0 sonst.

(a) Skizzieren Sie die Funktion f schematisch, wobei wenigstens die Werte an den dya- dischen Punkten x = ₂ ^k

_n

mit n = 0, 1, 2, 3 und an den Stellen x = ¹ ₃ ,

√ 2

2 , ₅ ^e und ₂₀ ^π einzutragen sind.

(b) Begr¨ unden Sie anhand der ε-δ Definition, warum f an der Stelle ¹ ₂ unstetig ist.

(c) Begr¨ unden Sie anhand der ε-δ Definition, warum f an der Stelle ¹ ₃ stetig ist.

(d) Geben Sie die Menge U an, wo f unstetig ist.

(e) Ist f differenzierbar an der Stelle x = ¹ ₂ ? (Begr¨ undung)

(f) Ist f differenzierbar an der Stelle x = ¹ ₃ ? (Begr¨ undung. Anleitung: Betrachten Sie f¨ ur jedes n ∈ N einen Punkt x n = ^k ₂

nⁿ

mit ungeradem k und |x − x n | ≤ 2 ⁻ⁿ sowie den Differenzenquotienten f¨ ur x und x n .)

(g) Gegeben sei die Zerlegung Z = { ₁₀₀₀ ⁱ : i = 0, 1, . . . , 1000}. Berechnen Sie die Unter- summe U (f, Z).

(h) Begr¨ unden Sie, warum mit der Zerlegung Z aus (g) f¨ ur die Obersumme die Ungleichung O(f, Z) < ¹ ₂ gilt.

(i) Ist f Riemann-integrierbar? (Begr¨ undung, Grundidee ausgehend von (h) gen¨ ugt.) 2. Die reelle Funktion f erf¨ ulle auf ganz R die (Differential-) Gleichung G: xf ⁰ (x) = 2f (x).

(a) Berechnen Sie unter der Voraussetzung, dass f eine Potenzreihendarstellung f (x) = P ∞

n=0 a n x ⁿ auf ganz R besitzt, die Glieder b n der Potenzreihe xf ⁰ (x) = P ∞ n=0 b n x ⁿ . (b) Wie lautet der Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen?

(c) Was l¨ asst sich aus dem Identit¨ atssatz (b) bei Anwendung auf die Gleichung G in Hin- blick auf die Koeffizienten a n aus (a) schließen?

(d) Wie lautet die Menge der analytischen Funktionen f, welche L¨ osung der Gleichung G sind?

(e) Aus G folgt f¨ ur x 6= 0 f¨ ur die zweite Ableitung f ⁰⁰ (x) = ^2f(x) _x

₂

. Zeigen Sie dies durch Rechnung.

(f) Zeigen Sie mittels (e), dass aus G f¨ ur x 6= 0 folgt: f ⁰⁰⁰ (x) = 0.

(g) Begr¨ unden Sie: Auch ohne eine Potenzreihenentwicklung wie in (a) vorauszusetzen, treten als L¨ osungen f von G genau die Funktionen der Gestalt f (x) = cx ² mit einem beliebigen c ∈ R auf.

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M¨ undliche Pr¨ ufung (bitte ankreuzen):

Analysis 2 f¨ ur Lehramt, Pr¨ ufung am 28.9.2012 (Winkler) Name, Matrikelnummer:

M¨ undliche Pr¨ ufung (bitte ankreuzen):

◦ Mi, 3.10., 16 Uhr (Freihaus, gr¨ uner Turm, 5.Stock, Pr¨ ufungs- und Besprechungsraum)

◦ Ab 8.10., ich melde mich per e-mail an reinhard.winkler@tuwien.ac.at zwecks Terminvereinba- rung.

Hinweise bevor Sie beginnen:

1. Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

2. Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

1. Gegeben sei die Funktion f : [0, 1] → R durch f ( 2 k

) = n+1 1 f¨ ur k, n ∈ N , k ungerade (dyadische Punkte in gek¨ urzter Darstellung), und f (x) = 0 sonst.

(a) Skizzieren Sie die Funktion f schematisch, wobei wenigstens die Werte an den dya- dischen Punkten x = 2 k

mit n = 0, 1, 2, 3 und an den Stellen x = 1 3 ,

√ 2

2 , 5 e und 20 π einzutragen sind.

(b) Begr¨ unden Sie anhand der ε-δ Definition, warum f an der Stelle 1 2 unstetig ist.

(c) Begr¨ unden Sie anhand der ε-δ Definition, warum f an der Stelle 1 3 stetig ist.

(d) Geben Sie die Menge U an, wo f unstetig ist.

(e) Ist f differenzierbar an der Stelle x = 1 2 ? (Begr¨ undung)

(f) Ist f differenzierbar an der Stelle x = 1 3 ? (Begr¨ undung. Anleitung: Betrachten Sie f¨ ur jedes n ∈ N einen Punkt x n = k 2

mit ungeradem k und |x − x n | ≤ 2 −n sowie den Differenzenquotienten f¨ ur x und x n .)

(g) Gegeben sei die Zerlegung Z = { 1000 i : i = 0, 1, . . . , 1000}. Berechnen Sie die Unter- summe U (f, Z).

(h) Begr¨ unden Sie, warum mit der Zerlegung Z aus (g) f¨ ur die Obersumme die Ungleichung O(f, Z) < 1 2 gilt.

(i) Ist f Riemann-integrierbar? (Begr¨ undung, Grundidee ausgehend von (h) gen¨ ugt.) 2. Die reelle Funktion f erf¨ ulle auf ganz R die (Differential-) Gleichung G: xf 0 (x) = 2f (x).

(a) Berechnen Sie unter der Voraussetzung, dass f eine Potenzreihendarstellung f (x) = P ∞

n=0 a n x n auf ganz R besitzt, die Glieder b n der Potenzreihe xf 0 (x) = P ∞ n=0 b n x n . (b) Wie lautet der Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen?

(c) Was l¨ asst sich aus dem Identit¨ atssatz (b) bei Anwendung auf die Gleichung G in Hin- blick auf die Koeffizienten a n aus (a) schließen?

(d) Wie lautet die Menge der analytischen Funktionen f, welche L¨ osung der Gleichung G sind?

(e) Aus G folgt f¨ ur x 6= 0 f¨ ur die zweite Ableitung f 00 (x) = 2f(x) x

. Zeigen Sie dies durch Rechnung.

(f) Zeigen Sie mittels (e), dass aus G f¨ ur x 6= 0 folgt: f 000 (x) = 0.

(g) Begr¨ unden Sie: Auch ohne eine Potenzreihenentwicklung wie in (a) vorauszusetzen, treten als L¨ osungen f von G genau die Funktionen der Gestalt f (x) = cx 2 mit einem beliebigen c ∈ R auf.

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1. Gegeben sei die Funktion f : [0, 1] → R durch f ( ₂ ^k

) = _n+1 ¹ f¨ ur k, n ∈ N , k ungerade (dyadische Punkte in gek¨ urzter Darstellung), und f (x) = 0 sonst.

(a) Skizzieren Sie die Funktion f schematisch, wobei wenigstens die Werte an den dya- dischen Punkten x = ₂ ^k

mit n = 0, 1, 2, 3 und an den Stellen x = ¹ ₃ ,

2 , ₅ ^e und ₂₀ ^π einzutragen sind.

(b) Begr¨ unden Sie anhand der ε-δ Definition, warum f an der Stelle ¹ ₂ unstetig ist.

(c) Begr¨ unden Sie anhand der ε-δ Definition, warum f an der Stelle ¹ ₃ stetig ist.

(e) Ist f differenzierbar an der Stelle x = ¹ ₂ ? (Begr¨ undung)

(f) Ist f differenzierbar an der Stelle x = ¹ ₃ ? (Begr¨ undung. Anleitung: Betrachten Sie f¨ ur jedes n ∈ N einen Punkt x n = ^k ₂

mit ungeradem k und |x − x n | ≤ 2 ⁻ⁿ sowie den Differenzenquotienten f¨ ur x und x n .)

(g) Gegeben sei die Zerlegung Z = { ₁₀₀₀ ⁱ : i = 0, 1, . . . , 1000}. Berechnen Sie die Unter- summe U (f, Z).

(h) Begr¨ unden Sie, warum mit der Zerlegung Z aus (g) f¨ ur die Obersumme die Ungleichung O(f, Z) < ¹ ₂ gilt.

(i) Ist f Riemann-integrierbar? (Begr¨ undung, Grundidee ausgehend von (h) gen¨ ugt.) 2. Die reelle Funktion f erf¨ ulle auf ganz R die (Differential-) Gleichung G: xf ⁰ (x) = 2f (x).

n=0 a n x ⁿ auf ganz R besitzt, die Glieder b n der Potenzreihe xf ⁰ (x) = P ∞ n=0 b n x ⁿ . (b) Wie lautet der Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen?

(e) Aus G folgt f¨ ur x 6= 0 f¨ ur die zweite Ableitung f ⁰⁰ (x) = ^2f(x) _x

(f) Zeigen Sie mittels (e), dass aus G f¨ ur x 6= 0 folgt: f ⁰⁰⁰ (x) = 0.

(g) Begr¨ unden Sie: Auch ohne eine Potenzreihenentwicklung wie in (a) vorauszusetzen, treten als L¨ osungen f von G genau die Funktionen der Gestalt f (x) = cx ² mit einem beliebigen c ∈ R auf.