Terminvereinbarung f¨ ur die m¨ undliche Pr¨ ufung: pers¨ onlich, unmittelbar nach der schriftli- chen Pr¨ ufung im Bereich vor dem H¨ orsaal

(1)

Algebra, Pr¨ ufung am 27.1.2017, Winkler Name, Matrikelnummer (bitte ausf¨ ullen):

Terminvereinbarung f¨ ur die m¨ undliche Pr¨ ufung: pers¨ onlich, unmittelbar nach der schriftli- chen Pr¨ ufung im Bereich vor dem H¨ orsaal

Hinweise bevor Sie beginnen:

Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

Verwenden Sie f¨ ur jede der vier Aufgaben ein eigenes Blatt. Bei Bedarf k¨ onnen Sie zus¨ atzliche Bl¨ atter haben.

Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

Vergessen Sie nicht auf die R¨ uckseite der Angabe.

1. Die Automorphismen einer Algebra bilden stets in nat¨ urlicher Weise eine Gruppe G. Insbe- sondere ist das der Fall, wenn es sich bei der Algebra um einen Vektorraum V uber einem ¨ K¨ orper K handelt. Hat V endliche Dimension n, so schreiben wir traditionsgem¨ aß f¨ ur G auch GL(K, n) (

” General Linear Group“). Ist eine Basis B von V gegeben, so gibt es eine nat¨ urliche Identifikation von GL(K, n) mit der Gruppe aller quadratischen n × n Matrizen

¨

uber K mit Determinante 6= 0. F¨ ur U ⊆ K bezeichne G

U

die Menge aller f ∈ GL(K, n), deren Determinante in U liegt, GL(U, n) die Menge jener f ∈ GL(K, n), in deren Matrizen- darstellung bez¨ uglich B alle Eintragungen in U liegen.

(a) Zeigen Sie, dass G

_U

eine Untergruppe von GL(K, n) ist, sofern U eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe K \ {0} ist. Hinweis: Sie d¨ urfen die aus der Linearen Algebra vertraute Multiplikativit¨ at der Determinante verwenden.

(b) Zeigen Sie, dass G

_U

sogar ein Normalteiler von G ist (wieder f¨ ur eine multiplikative Untergruppe U von K \ {0}).

(c) Ist U ein Unterring von K, so gilt GL(U, n) ⊆ G

U

. Wie steht es mit der Umkehrung?

(Begr¨ undung oder Gegenbeispiel)

(d) Sei speziell K = R , V = R

²

und U = Q \ {0}. Ist der Index der Untergruppe G

_Q

in GL( R , 2) endlich oder unendlich? (Begr¨ undung)

2. Ist K ein K¨ orper, so bezeichne K(x) den K¨ orper der gebrochen rationalen Funktionen ¨ uber K, K einen algebraischen Abschluss von K. Untersuchen Sie, ob es isomorphe K¨ orperein- bettungen ι

k

, k = 1, 2, 3, 4, wie folgt gibt. Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. Im positiven Fall gen¨ ugt, sofern m¨ oglich, die explizite Angabe eines entsprechenden ι

_k

.

(a) ι

₁

: Q (x) → R (b) ι

₂

: Q (x) → C (c) ι

₃

: Q (x) → R (d) ι

4

: Q (x) → C

1

(2)

3. Sei (R, +, 0

R

, ·, 1

R

) ein kommutativer Ring mit Einselement.

(a) F¨ ur eine ¨ Aquivalenzrelation ∼ auf R schreiben wir [0]

_∼

f¨ ur die ∼-Klasse, in der 0

R

liegt.

Welche Abschlusseigenschaften charakterisieren jene Teilmengen T von R, die sich als [0]

∼

f¨ ur eine Kongruenzrelation ∼ von (R, +, 0

R

, ·, 1

R

) schreiben lassen?

(b) Angenommen I ist ein Ideal von R und J ein Ideal von R/I. Geben Sie ein Ideal J

R

von R an, f¨ ur das R/J

_R

∼ = (R/I)/J gilt und beschreiben Sie einen Isomorphismus ϕ : R/J

_R

→ (R/I)/J.

(c) Ist R ein Hauptidealring und I ein Ideal von R, so muss R/I kein Hauptidealring sein, weil die Nullteilerfreiheit verloren gehen kann. Dennoch kann jedes Ideal von R/I von einem einzigen Element erzeugt werden. Wie l¨ asst sich ein solches finden?

(d) Beschreiben Sie bis auf Isomorphie s¨ amtliche homomorphen Bilder des Restklassenrin- ges Z

m

modulo m.

4. Sei K ein K¨ orper und f ∈ K[x] ein Polynom ¨ uber K. Dann bezeichne Z

f

einen Zerf¨ allungs- k¨ orper von f uber ¨ K. Im Folgenden sei speziell K der Restklassenk¨ orper mit 5 Elementen in ¨ ublicher Schreibweise, außerdem f

k

(x) := x

^k

− 1 f¨ ur k ∈ N . Zum Beispiel ist Z

f_k

= K f¨ ur k = 0, 1, 2. Bestimmen Sie die Kardinalit¨ at |Z

f_k

| des Zerf¨ allungsk¨ orpers Z

f_k

von f

k

f¨ ur die angegebenen Werte von k. Begr¨ unden Sie jeweils Ihre Antwort. Hinweis: Wenn Sie zu Beginn Ihre Vorgangsweise allgemein erkl¨ aren, k¨ onnen Sie sich einige Schreibarbeit ersparen, weil dann f¨ ur jedes k eine kurze Rechnung ausreicht.

Terminvereinbarung f¨ ur die m¨ undliche Pr¨ ufung: pers¨ onlich, unmittelbar nach der schriftli- chen Pr¨ ufung im Bereich vor dem H¨ orsaal

Algebra, Pr¨ ufung am 27.1.2017, Winkler Name, Matrikelnummer (bitte ausf¨ ullen):

Terminvereinbarung f¨ ur die m¨ undliche Pr¨ ufung: pers¨ onlich, unmittelbar nach der schriftli- chen Pr¨ ufung im Bereich vor dem H¨ orsaal

Hinweise bevor Sie beginnen:

Die einzelnen Teilfragen haben ungef¨ ahr gleiches Gewicht.

Verwenden Sie f¨ ur jede der vier Aufgaben ein eigenes Blatt. Bei Bedarf k¨ onnen Sie zus¨ atzliche Bl¨ atter haben.

Ihre Arbeitszeit betr¨ agt 100 Minuten.

Vergessen Sie nicht auf die R¨ uckseite der Angabe.

1. Die Automorphismen einer Algebra bilden stets in nat¨ urlicher Weise eine Gruppe G. Insbe- sondere ist das der Fall, wenn es sich bei der Algebra um einen Vektorraum V uber einem ¨ K¨ orper K handelt. Hat V endliche Dimension n, so schreiben wir traditionsgem¨ aß f¨ ur G auch GL(K, n) (

” General Linear Group“). Ist eine Basis B von V gegeben, so gibt es eine nat¨ urliche Identifikation von GL(K, n) mit der Gruppe aller quadratischen n × n Matrizen

¨

uber K mit Determinante 6= 0. F¨ ur U ⊆ K bezeichne G

die Menge aller f ∈ GL(K, n), deren Determinante in U liegt, GL(U, n) die Menge jener f ∈ GL(K, n), in deren Matrizen- darstellung bez¨ uglich B alle Eintragungen in U liegen.

(a) Zeigen Sie, dass G

eine Untergruppe von GL(K, n) ist, sofern U eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe K \ {0} ist. Hinweis: Sie d¨ urfen die aus der Linearen Algebra vertraute Multiplikativit¨ at der Determinante verwenden.

(b) Zeigen Sie, dass G

sogar ein Normalteiler von G ist (wieder f¨ ur eine multiplikative Untergruppe U von K \ {0}).

(c) Ist U ein Unterring von K, so gilt GL(U, n) ⊆ G

. Wie steht es mit der Umkehrung?

(Begr¨ undung oder Gegenbeispiel)

(d) Sei speziell K = R , V = R

und U = Q \ {0}. Ist der Index der Untergruppe G

in GL( R , 2) endlich oder unendlich? (Begr¨ undung)

2. Ist K ein K¨ orper, so bezeichne K(x) den K¨ orper der gebrochen rationalen Funktionen ¨ uber K, K einen algebraischen Abschluss von K. Untersuchen Sie, ob es isomorphe K¨ orperein- bettungen ι

, k = 1, 2, 3, 4, wie folgt gibt. Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. Im positiven Fall gen¨ ugt, sofern m¨ oglich, die explizite Angabe eines entsprechenden ι

.

(a) ι

: Q (x) → R (b) ι

: Q (x) → C (c) ι

: Q (x) → R (d) ι

: Q (x) → C

1

3. Sei (R, +, 0

, ·, 1

) ein kommutativer Ring mit Einselement.

(a) F¨ ur eine ¨ Aquivalenzrelation ∼ auf R schreiben wir [0]

f¨ ur die ∼-Klasse, in der 0

liegt.

Welche Abschlusseigenschaften charakterisieren jene Teilmengen T von R, die sich als [0]

f¨ ur eine Kongruenzrelation ∼ von (R, +, 0

, ·, 1

) schreiben lassen?

(b) Angenommen I ist ein Ideal von R und J ein Ideal von R/I. Geben Sie ein Ideal J

von R an, f¨ ur das R/J

∼ = (R/I)/J gilt und beschreiben Sie einen Isomorphismus ϕ : R/J

→ (R/I)/J.

(c) Ist R ein Hauptidealring und I ein Ideal von R, so muss R/I kein Hauptidealring sein, weil die Nullteilerfreiheit verloren gehen kann. Dennoch kann jedes Ideal von R/I von einem einzigen Element erzeugt werden. Wie l¨ asst sich ein solches finden?

(d) Beschreiben Sie bis auf Isomorphie s¨ amtliche homomorphen Bilder des Restklassenrin- ges Z

modulo m.

4. Sei K ein K¨ orper und f ∈ K[x] ein Polynom ¨ uber K. Dann bezeichne Z

einen Zerf¨ allungs- k¨ orper von f uber ¨ K. Im Folgenden sei speziell K der Restklassenk¨ orper mit 5 Elementen in ¨ ublicher Schreibweise, außerdem f

(x) := x

− 1 f¨ ur k ∈ N . Zum Beispiel ist Z

= K f¨ ur k = 0, 1, 2. Bestimmen Sie die Kardinalit¨ at |Z

| des Zerf¨ allungsk¨ orpers Z

von f

f¨ ur die angegebenen Werte von k. Begr¨ unden Sie jeweils Ihre Antwort. Hinweis: Wenn Sie zu Beginn Ihre Vorgangsweise allgemein erkl¨ aren, k¨ onnen Sie sich einige Schreibarbeit ersparen, weil dann f¨ ur jedes k eine kurze Rechnung ausreicht.

(a) k = 3 (b) k = 4 (c) k = 5 (d) k = 6

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