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WS 2011/2012 18. November 2011 Blatt 6

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Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨ at

D¨ usseldorf

Prof. Dr. W. Singhof

WS 2011/2012 18. November 2011 Blatt 6

Ubungen zu Einf¨ ¨ uhrung in die Topologie

21. (8 Punkte) Seien X, Y topologische R¨ aume, x

0

, x

1

∈ X. Sei f : X → Y stetig und y

0

:= f (x

0

), y

1

:= f (x

1

). Ist w ein Weg in X von x

0

nach x

1

und v := f ◦ w, so ist

f

∗

◦ σ

w

= σ

v

◦ f

∗

: π

1

(X, x

0

) → π

1

(Y, y

1

).

22. (8 Punkte) Zeigen Sie: Ein wegzusammenh¨ angender Raum X ist genau dann ein- fach zusammenh¨ angend, wenn jede stetige Abbildung S

1

→ X homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

23. (8 Punkte)

(a) Seien A, B zwei finale (bzw. zwei initiale Objekte) in einer Kategorie C . Zeigen Sie, dass A und B isomorph sind.

(b) Sei K ein K¨ orper und V

K

die Kategorie der K-Vektorr¨ aume. Zeigen Sie, dass es in V

K

ein finales und ein initiales Objekt gibt und dass je zwei beliebige Objekte ein Produkt und ein Koprodukt besitzen.

24. (8 Punkte) F¨ uhren Sie den Beweis von Lemma 2 von §7 aus, d.h. zeigen Sie, dass Koprodukte, falls sie existieren, im Wesentlichen eindeutig bestimmt sind.

25. (8 Punkte) Seien (A

1

, a

1

) und (A

2

, a

2

) punktierte topologische R¨ aume.

Sei A := {(x, y) ∈ A

1

× A

2

| x = a

1

oder y = a

2

}.

Zeigen Sie, dass die punktierten topologischen R¨ aume (A, (a

1

, a

2

)) und

(A

1

∨ A

2

, a

1∨

a

2

) isomorphe Objekte in T

0

sind und zeigen Sie, dass sie zusammen mit den offensichtlichen Abbildungen Koprodukt von (A

1

, a

1

) und (A

2

, a

2

) in T

0

sind.

Abgabe: Freitag, den 25. November 2011, 10:30 Uhr

1

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