x1. Translationen, Rotationen, Spiegelungen
Wir betrachten folgende Grundtypen vonBewegungen:
1) Translationen: Eine Translation T wird durch ihren Translationsvektor ~a be-
schrieben:dieRichtungvon~agibtdieRichtungderTranslationundderBetragvon~a
gibtdieLangederTranslation.SeiP
dasBildvonP unterT.Esgilt
!
OP
=
!
OP+~a.
In Koordinaten haben wir, mit P =(x
1
;x
2 ),P
=(x
1
;x
2
)und a =
a
1
a
2
:
x
1
= x
1 +a
1
x
2
= x
2 +a
2
oder mitMatrizen:x
=T
a
(x)=x+a, mitx=
x
1
x
2
, x
=
x
1
x
2
, und a=
a
1
a
2
.
Es gilt:
T
a+b
= T
a ÆT
b
=T
b ÆT
a
(T
a )
1
= T
a
T
0
= E
Dabei bezeichnet T
1 ÆT
2
die Zusammensetzung (zuerst T
2
und dann T
1 ), T
1
die
inverse Abbildung und E die Identitat, E : x 7! x. Eine Translation T 6= E hat
keine Fixpunkte.
Bemerkung: Eine Sammlung G vonbijektiven Transformationen einer Menge M in
sich heisst Gruppe von Transformationenfalls:
(1) T
1 , T
2
2G =) T
1 ÆT
2 2G,
(2) E 2G.
(3) T 2G =) T 1
2G,
BeiderDenitioneinerabstrakten GruppewirdzusatzlichzudenEigenschaften(1),
(2) und (3)dieAssoziativitat des Kompositionsgesetzes verlangt:
T
1
;T
1
;T
3
2G=)T
1 Æ(T
2 ÆT
3 )=(T
1 ÆT
2 )ÆT
3 :
Die Zusammensetzung von Transformationenist automatischassoziativ.
Die Menge der Translationenin R 2
isteine Gruppevon Transformationen.
bestimmet.Sei zuerst Z =O.Wir benutzen Polarkoordinaten und'; der Betrag
von P 2 R 2
ist der Abstand = j
!
OPj und ' ist der orientierte Winkel von
der x-Achse zum Strahl OP. Der Gegenuhrzeigersinn wird als positiver Drehsinn
angesehen.DerWinkel'heisstPolarwinkeloderArgumentvonP.FurP =(x
1
;x
2 )
gilt:
x
1
= cos' x
2
= sin'
=
p
x 2
1 +x
2
2
' = ArgP = (
arctan x
2
x1 (x
1
>0)
arctan x
2
x1 (x
1
<0)
SeiP
das Bild vonP unter der Drehung um O um den Winkel . Es gilt
ArgP
= ArgP +
jOP
j = jOPj:
Folglichsind die Koordinaten (x
1
;x
2
)vonP
gegeben durch
x
1
= cos ('+ )=cos cos' sin sin'
x
2
= sin('+ )=cos sin'+sin cos'
oder
x
1
= cos x
1
sin x
2
x
2
= sin x
1
+cos x
2
In Matrix-Form haben wir
x
=R ( )x
mit
R ( )=
cos sin
sin cos
:
DieZusammensetzungvonDrehungenumOmitWinkelnundistgegebendurch
das Produkt der Matrizen R ( )und R ().Es gilt:
R ( )R () = R ()R ( )=R (+)
R ( ) 1
= R ( )
R (0) = E:
Insbesondere bildendie Drehungen um O eine Gruppe.
Bemerkung: Der Winkel liegt im Intervall [0;2[, dieAddition der Winkel wird
\modulo" 2 ausgeubt, d.h. dieWinkel und +k2, k 2Z; werden als gleich
betrachtet.
3. Spiegelungen: Eine Spiegelung wird durch ihre Achse g bestimmt. Sei P das
Bild vonP durchdieSpiegelung ang.SeihdieGeradedurchP senkrecht zug und
sei Q=g\h. Es gilt(Figur!)
!
QP
=
!
QP:
WirbetrachtenzuerstdenFall,wodieAchseg durchOgehtund diex
1
-Achseunter
dem Winkel =2 schneidet (Figur!). Sei P = (x
1
;x
2
), ' = ArgP, = p
x 2
1 +x
2
2 .
Das Bild P
von P hat Betrag
= und Argument
'
=ArgP +2(=2 ArgP)= ArgP = '(Figur!)
Es ergibt sich,da x
1
=cos', x
2
=sin',
x
1
=
cos'
= cos( ') = cosx
1
+sinx
2
x
2
=
sin'
= sin( ') = sinx
1
cosx
2 :
In Matrix-Form:
x
=S()x
mit
S()=
cos sin
sin cos
:
Ubung: S() 2
=E, S()S()=R ( ).
x2. Orthogonale Matrizen
Fur jede (mn)-Matrix A =(a
ij
), i =1;:::;m, j = 1;:::;n, bezeichnen wir mit
A t
dietransponierte Matrix:
(A t
)
ij
=(A)
ji
Beispiel:
a b
c d
t
=
a c
b d
;
x
1
x
2
t
= x
1 x
2
Ubung:
1) (AB) t
=B t
A t
2) (A 1
) t
=(A t
) 1
falls A invertierbar ist
3) R ( ) t
=R ( ); S() t
=S()
4) PP t
=E =P t
P furP =R ( )oder =S().
Denition: Eine (nn)- Matrix P heisst orthogonalfalls
PP t
=P t
P =E:
Insbesondere ist eine orthogonale Matrix P invertierbar: P = P . Die Matrix E
ist oenbar orthogonal. SeiP =
a b
c d
; esergibt sich
P t
P =
a 2
+c 2
ab+cd
ab+cd b 2
+d 2
Also:
P orthogonal () (
a 2
+c 2
=1=b 2
+d 2
ab+cd=0:
In Worten: die Spalten von P (als Vektoren in R 2
) haben Lange 1 und sind zuein-
ander orthogonal.
Bemerkung: Aus PP t
= E folgt die entsprechende Eigenschaft fur die Zeilen: sie
haben Lange 1 und sind zueinander orthogonal.
Satz: Sind P und Q orthogonal,so gilt
1) PQist orthogonal, 2) P 1
ist orthogonal.
Insbesondere bildet dieMenge der orthogonalen (22)-Matrizen eine Gruppe.Sie
heisst orthogonale Gruppeund wird mitO(2) bezeichnet.
Beweis: Aus (PQ) t
= Q t
P t
folgt (PQ)(PQ) t
=PQQ t
P t
=E. Die Behauptung 2)
folgt aus (P 1
) t
=(P t
) 1
.
Fureine Matrix A=
a b
c d
sei det(A):=j a b
c d
j=ad bc:
Ubung:
1)det (AB)=det (A)det(B); det(E)=1; det(A t
)=det(A); det (A 1
)=det (A) 1
.
2) A istinvertierbar dann und nur dann wenn det(A)6=0; insbesondere
A 1
= 1
det (A)
d b
c a
:
Satz: 1) P orthogonal =)det(P)=1.
2) P orthogonal und det (P)=1 () P =R ( ), 2R.
3) P orthogonal und det(P)= 1 () P =S( ), 2R.
Beweis: 1) Aus PP t
=E folgt det(P) 2
=det (E)=1.
Bei 2)und 3) sind die Implikationen \(=" klar. SeiP =
a b
c d
orthogonal. Aus
a +c = 1 folgt a = cos , c = sin fur 2 [0;2[. Die Bedingung ab+cd = 0
bedeutet b=c=d=a oder
b
sin
= d
cos
=::
Also gilt b = sin , d = cos fur eine Zahl 2 R. Weiter gilt det (P) =
ad bc=. Alsoaus det(P)=1folgt=1und P =R ( ). Istdet(P)= 1soist
P =S( ).
Die Menge der (22)-orthogonalen Matrizen mit Determinante gleich 1 ist eine
Untergruppe von O(2). Sie heisst die spezielle orthogonale Gruppe und wird mit
SO(2) bezeichnet.
Jede Matrix P =
a
11 a
12
a
21 a
22
deniert eine Abbildung R 2
!R 2
:
A:x=
x
1
x
2
7!y=Ax;
(
y
1
=a
11 x
1 +a
12 x
2
y
2
=a
21 x
1 +a
22 x
2
Die Abbildung istlinear, d.h.,
A(x+x 0
) = Ax+Ax 0
A(x) = Ax
und jede lineare Abbildung R 2
! R 2
lasst sich so darstellen (Lineare Algebra !).
Bemerkung: Rotationen um O und Spiegelungen an Geraden durch O sind lineare
Abbildungen. Translationen sind keine.
4
!
Satz: Sei P : R 2
! R 2
eine lineare Abbildung. Die Matrix P ist orthogonal dann
und nurdann wenn die AbbildungP langentreu ist.
Beweis: In Matrix-Form wird das Skalarprodukt (x;y) 7! x y = x
1 y
1 +x
2 y
2
geschrieben als
xy=x t
y=(x
1
;x
2 )
y
1
y
2
=x
1 y
1 +x
2 y
2 :
(Wir notieren Vektoren als Spalten-Matrizen). Insbesondere ist jxj 2
= x t
x. Ist P
langentreu,dass heisst
jPxj=jxj furallex2R
so folgtaus
jx+yj 2
=jxj 2
+jyj 2
+2(xy)
dass P das Skalarprodukt invariant lasst:
PxPy=xy
Also gilt(Px)Py = x P Py = xy fur allex und y 2 R . Wahlt man x = e
i und
y=e
j
(standard Basisvektoren), i=1;2 und j =1;2,so folgt
(P t
P)
ij
=Æ
ij :
Also P t
P =E und P istorthogonal. Umgekehrt, aus P t
P =E folgt
PxPy=x t
P t
Py=x t
Ey =x t
y =xy
furallex, y2R 2
. Insbesondere gilt jPxj 2
=jxj 2
und P istlangetreu.
Bemerkung:AusdemobigenBeweisfolgt,dass dasSkalarproduktinvariantist,falls
die Abbildunglangentreu ist.Insbesondere giltfureine linear AbbildungP:
P langentreu =) P winkeltreu:
Die Umkehrung gilt nicht: die Abbildung x 7! x, 6= 1, ist linear, winkeltreu,
jedochnicht langentreu.
x3 Bewegungen
Denition Sei P eine orthogonale(22)-Matrix unda2R 2
einefester Vektor. Die
Abbildungf :R 2
!R 2
,
x
=f(x)=Px+a
heisst Bewegung inR 2
. Siewird mitf
P;a
bezeichnet. DieBewegungheisst eigentlich
falls det (P)=1 und uneigentlichfalls det (P)= 1.
Beispiele:
1) f
E;a
ist dieTranslationum a.
2) f
R();0
ist dieDrehung um O mitdem Winkel .
3) f
S();0
istdie Spiegelungan der Geraden durch Omit Steigung tan(=2).
Satz 1: Esgilt:
1) f
Q;b Æf
P;a
=f
QP;Qa+b
, 2)f 1
P;a
=f
P 1
; P 1
a .
Insbesondere bilden die Bewegungen eine Gruppe und die eigentlichen eine Unter-
gruppedavon.
Beweis: Fur1)haben wir
(f
Q;b Æf
P;a
)(x)=Q(Px+a)+b =QPx+Qa+b:
2) folgtunmittelbar aus 1).
gelungen an Geraden durchO und Translationen.
2) Beliebige Rotationen, Spiegelungen und Translationen sind Bewegeungen.
Beweis: Behauptung 1) ist nicht neu (x2), da f
P;a
=f
E;a Æf
P;0
und da jede ortho-
gonale (22)-Matrix P von der Form R ( )(det(P)=1) ist, b.z.w. von der Form
S()(det (P)= 1).
2) Eine Rotationf mitZentrum Z und Winkel lasst sich als
f =f
E;z Æf
R();0 Æf
E; z
=f
R();z R()z
schreiben, wobei z der Ortsvektor von Z ist. Analog sei U der Schnittpunkt der
Spiegelungsachse mit der x
1
-Achse (wir nehmen an, dass g nicht parallel zur x
1 -
Achse ist). Dann lasst sich dieSpiegelung ang als Zusammensetzung
f =f
E;u Æf
S();0 Æf
E; u
=f
S();u S()u
darstellen.
Esgibteine4.ArtvonBewegungen, welchewirberucksichtigenmussen:DieZusam-
mensetzung einer Spiegelung mit einer Translation um einen Vektor a 6=0 parallel
zur Spiegelungsachse heisst eine Gleitspiegelung. Eine Gleitspiegelungist eine unei-
gentliche Bewegungohne Fixpunkt.
Satz 3: 1)Sei f eine eigentliche Bewegung von R 2
. Dann
f isteine Translation () f hat keine Fixpunkte
f isteine Drehung () f hat genau einen Fixpunkt
f istdieIdentitat () f hat mehr alseinen Fixpunkt.
2) Sei f uneigentlich. Dann
f isteine Spiegelung () f hat Fixpunkte
f isteine Gleitspiegelung () f hat keine Fixpunkte.
Beweis: Die ImplikationeninRichtung=)sind alleklar.FurdieUmkehrungensei
zuerst f eigentlich, f(x)=Px+a, det(P)=1,P =R ( )und f 6=E. Hatf einen
Fixpunkt z, sofolgt aus
R ( )z+a=z
dass a =z R ( )z und
f =f
R();z R()z
=f
E;z Æf
R();0 Æf
E; z
und somit ist f eine Drehung mit Zentrum Z,
!
OZ = z. Ist P = E, so ist f eine
Translationund hat keine Fixpunkte.Es genugt also zu zeigen, dass
P 6=E; f eigentlich; =)f hat einenFixpunkt.
(P E)z = a
daPz+a=z.Esgenugtalsozu zeigen,dass det (P E)6=0fallsR ( )6=E:dann
ist P E invertierbar und z = (P E) 1
a. Es gilt
det(P E)=det
cos 1 sin
sin cos 1
=2(1 cos ):
Fur0<2 istcos=1genau dann wenn =0, d.h. P =E.
Um Behauptung 2)zu beweisen,brauchen wir zusatzliche Eigenschaften vonGleit-
spiegelungen:
Satz 4: 1) Sei f eine Spiegelung (Achse beliebig) und sei f
1
eine Drehung um 180 Æ
(Zentrum beliebig).Dann istf
2
=f
1
Æf eine Gleitspiegelung.
2) Sei f eine Gleitspiegelung und sei z = u+f(u)
2
fur ein beliebiges (aber festes) u.
Sei f
1
die Drehung mit Zentrum z und Winkel 180 Æ
. Dann ist f
2
= f
1
Æf eine
Spiegelung.
Beweis: 1) Wir wahlen die Koordinaten so, dass die Achse der Spiegelung f die
x
1
-Achse ist.Es giltdann fury=f(x),
y
1
= x
1
y
2
= x
2 :
Ist Z =(r
1
;r
2
)das Zentrumder Drehung f
1
, sogiltfurx
=f
1 (y):
x
1
= y
1 +2r
1
x
2
= y
2 +2r
2 :
Es folgtfurx
=(f
1
Æf)(x):
x
1
= x
1 +2r
1
x
2
= x
2 +2r
2 :
Diese Formeln beschreiben eine Gleitspiegelung mit Achse x
1
= r
1
und Verschie-
bungsvektor a=
0
2r
2
.
2)WirwahlendieKoordinatenso,dassdieAchsederGleitspiegelungf diex
1
-Achse
ist. Mitx
=f(x)und a=
2r
1
0
ergibt sich:
x
1
= x
1 +2r
1
x
2
= x
2 :
Es folgtfurz = u+f(u)
2
= u+u
2 :
z
1
= u
1 +r
1
z
2
= 0:
Sei x
7!y=f
1 (x
)dieDrehungmitZentrumZ =(z
1
;z
2
)undWinkel180 Æ
.Esgilt
y
1
= x
1 +2(u
1 +r
1 )
y
2
= x
2
somit furx7!y=(f
1
Æf)(x):
y
1
= x
1 +2u
1
y
2
= x
2
und f
1
Æf ist eine Spiegelung mitAchse x
1
=u
1
.
Wir beweisen nun den zweiten TeilvomSatz 3:
Sei f = f
P;a
eine uneigentliche Bewegung, P = S(). Hat f einen Fixpunkt Z, so
gilta =z S()z und
f =f
S();z S()z
=f
E;z Æf
S();0 Æf
E; z
ist eine Spiegelung mit Achse durch Z. Hat f keinen Fixpunkt und ist u beliebig,
so hat f
1
Æf, wobei f
1
eine Drehung ist mit Winkel 180 Æ
und Zentrum u+f(u)
2
, den
Fixpunkt u. Da f
1
eigentlich ist, ist f
1
Æf uneigentlich. Da f
1
Æf den Fixpunkt u
hat, istnach1)f
1
Æf eineSpiegelung. Esfolgtaus Satz4dass f =f
1 Æ(f
1
Æf)eine
Gleitspiegelungist.
Beispiele:
1) Die Zusammensetzung f
R;a
einer Drehung R miteiner Translation T
~a
ist wieder
eineDrehung.UmdasZentrumzubekommen,genugteseinenFixpunktzukonstru-
ieren. Sei Z das Zentrum der Drehung R . Sei g dieGerade durch Z senkrecht zum
Translationsvektor~a. Es gibt zweiPunkte P und Q so, dass der orientierte Winkel
^(ZP;ZQ) gleich dem Drehwinkel , g die Winkelhalbierende und
!
PQ = ~a ist.
Nach Konstruktion istP Fixpunkt von f.
2)Die ZusammensetzungvonzweiDrehungen R
1
(Winkel
1
,ZentrumZ
1
) undR
2
(Winkel
2
, Zentrum Z
2
) ist wieder eine Drehung. Wir konstruieren ihr Zentrum.
Sei l dieGerade durch Z
1
und Z
2
. Seien g
1
und h
1
Geraden durch Z
1
so dass l die
Winkelhalbierende istund h
1
das Bild von g
1
durch die Drehung R
1
. Seien g
2 und
h
2
durch Z
2
analog deniert (bez. R
2
). Der Schnittpunkt g
1
\h
2
ist Fixpunkt der
Zusammensetzung R
2 ÆR
1 .
S;a ~a
weder eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung. Sei a = b +c so zerlegt, dass b
senkrecht zur Spiegelungsachse von S ist und c ist parallel zu dieser Achse. Sei g 0
dieVerschiebung vong um den Vektor b=2.Ist c=0soist f eine Spiegelung ang 0
;
ist c6=0,so istf eine GleitspiegelungmitAchse g 0
und Vektor c.
x4. Kegelschnitte
SeiK einRotationskegelin R 3
.DerKegel wirddurchdieSpitze S, dieAchse g und
den Halbonungswinkelbestimmt.DerSchnitt vonK miteinerEbene E deniert
eine Kurve imRaum. Die Kurve kann verschiedene Gestalten haben:
Punkt (E schneidet K nur inS)
Gerade (E ist tangentialan einer Mantellinie)
Paar von Geraden, welche sich schneiden (2 Mantellinien)
Parabel (E ist parallelzu einer Mantellinie)
Ellipse
Hyperbel
Gleichung eines Kegels: DieRichtungder Achse g seidurch den Vektor~a gegeben.
Es gilt
P 2 Kegel K () ! :=^ (
!
SP;~a)= (
() cos 2
!=cos 2
()
(
!
OP
!
OS)~a
2
= j
!
OP
!
OSj 2
j~aj 2
cos 2
Beispiel: Sei S =O und g diex
3
-Achse. Esfolgt mit~a=~e
3
x 2
3
= x
2
1 +x
2
2 +x
2
3
b 2
; b =cos :
Wir wahlen furE verschiedene Ebenen:
3
x
3
=1 x
2
1 +x
2
2
=(1 cos 2
)=cos 2
2
Kreis
x
2
=0 x
2
1 cos
2
x
2
3
(1 cos 2
)=
(x
1
cos+x
3
sin )(x
1
cos x
3
sin )=0 2Geraden
x
2
=1 x
2
1 cos
2
x
2
3
(1 cos 2
)= cos 2
x 2
3 tan
2
x
2
1
=1 Hyperbel.
Allgemein istdieGleichung vomKegel K:
(x
1 s
1 )a
1 +(x
2 s
2 )a
2 +(x
3 s
3 )a
3
2
=
(x
1 s
1 )
2
+(x
2 s
2 )
2
+(x
3 s
2 )
2
a 2
1 +a
2
2 +a
2
3
cos 2
:
Die Ebene E wird durch eine lineareGleichung gegeben
b
1 x
1 +b
2 x
2 +b
3 x
3
=d:
AusdieserGleichung lasstsicheine Variableaus denanderen ausdrucken, z.B.,falls
b
3 6=0,
x
3
= d b
1 x
1 b
2 x
2
b
3
=h(x
1
;x
2 ):
DurchEinsetzenvonx
3
indieGleichungf(x
1
;x
2
;x
3
)=0desKegelsergibtsicheine
Gleichung
g(x
1
;x
2
)=f x
1
;x
2
;h(x
1
;x
2 )
=0
in den Variablen x
1
;x
2
. Diese Gleichung stellt eine Kurve in der (x
1
;x
2
)-Ebene
dar.
Beh.: Die Kurve ist die Projektion (parallel zur x
3
-Richtung) der Schnittkurve
=E\K auf dieEbene (x
1
;x
2 ).
Beweis: Sei P =(x
1
;x
2
;x
3
)2. Die ProjektionP hat die Koordinaten (x
1
;x
2
;0).
Da P 2 =K\E gilt
f(x
1
;x
2
;x
3
)=0 und x
3
=h(x
1
;x
2 ):
Also erfullen die zwei ersten Koordinaten x
1
;x
2
die Gleichung g(x
1
;x
2
) = 0, d.h.
P 2.Umgekehrt,seiP =(x
1
;x
2
)2.Danngiltg(x
1
;x
2
)=0.SeiP =(x
1
;x
2
;x
3 )
mitx
3
=h(x
1
;x
2
);dann liegt P aufder EbeneE.Aus derBedingung g(x
1
;x
2 )=0
folgtf(x
1
;x
2
;x
3
)=0,dag(x
1
;x
2
)=f x
1
;x
2
;h(x
1
;x
2 )
.SomitistP aufdemKegel
und P 2.
Die Kurven und haben denselben Typ (wobei Kreis und Ellipsen nicht unter-
schieden werden). Die Gleichung fur isteine Gleichung inx
1
;x
2
vomGrad2, d.h.
vonf istgegeben durch
f(x
1
;x
2 )=a
11 x
2
1 +2a
12 x
1 x
2 +a
22 x
2
2 +b
1 x
1 +b
2 x
2 +c
und dieBedingung f(x
1
;x
2
) =0ist die allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes.
Der Typ des Kegelschnittes (z.B. Parabel oder Ellipse) ist aus der Gleichung nicht
ersichtlich.DieGleichung f(x
1
;x
2
)=0hangtvomKoordinatensystemab. Ineinem
anderen Koordinatensystem, mitKoordinaten y
1
;y
2
wird diegleiche Kurve durch
eine andere Gleichung gegeben.
Beispiel: KreismitRadius r und ZentrumA =(a
1
;a
2
) ineinem System mitKoor-
dinaten x
1
;x
2 :
(x
1 a
1 )
2
+(x
2 a
2 )
2
=x 2
1 +x
2
2 2a
1 x
1 2a
2 x
2 +a
2
1 +a
2
2
=r 2
:
Wahlt man neue Koordinaten (mit Ursprung inA):
y
1
= x
1 a
1
y
2
= x
2 a
2
so istdie Gleichung des Kreises
y 2
1 +y
2
2
=r 2
:
Das neue System (y
1
;y
2
) ist durch eine Verschiebung des alten Systems um den
Vektor
!
OA entstanden.
Allgemein wollen wir die allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes durch eine ge-
eignete Wahl des Koordinatensystems (Bewegung des Koordinatensystems) so ver-
einfachen, dass der Typ der Kurve sofortersichtlich wird.
Wir untersuchen zuerst den quadratischen Teilder Gleichung:
q(x
1
;x
2 )=a
11 x
2
1 +2a
12 x
1 x
2 +a
22 x
2
2 :
Die quadratischeForm q lasst sich auch in Matrix-Form darstellen
q(x
1
;x
2 )=x
t
Ax mit x=
x
1
x
2
und A =
a
11 a
12
a
12 a
22
Notiere, dass die MatrixA symmetrisch ist: A t
=A.
Ziel: Das \gemischte" Glied 2a
12 x
1 x
2
mit\besseren" Koordinateneliminieren. Die
neuen Koordinaten seien y
1 und y
2
. Wir setzen
x
1
= p
11 y
1 +p
12 y
2
x
2
= p
21 y
1 +p
22 y
2
d.h.P istinvertierbar.Dax=Py,istdiequadratischeFormimneuenSystemdurch
den Ausdruck
~ q(y
1
;y
2
)=(Py) t
APy=y t
P t
APy=y t
~
Ay
gegeben,wobei
~
A=P t
AP.DasGlied 2a
12 x
1 x
2
\eliminieren"heissteinP zunden,
so dass
~
A =
a
1 0
0a
2
d.h.
~
A soll diagonalsein.
Satz: SeiA= a
11 a
12
a
12 a
22
symmetrisch.Esgibt P =R ( )so,dass
~
A=P t
AP diagonal
ist.
Beweis: Sei P =
cos sin
sin cos
, zuerst beliebig.Es ergibtsich,fur dieKoeÆ-
zienten von
~
A=
~ a
11
~ a
12
~ a
12
~ a
22
~ a
11
= a
11 cos
2
+a
12
sin2+a
22 sin
2
2 ~a
12
= (a
22 a
11
)sin2+2a
12 cos2
~ a
22
= a
11 sin
2
a
12
sin2+a
22 cos
2
Wir wollen, dass ~a
12
=0. Also:
falls a
22 a
11
6=0,so wahlt man so,dass tan2= 2a
12
a
11 a
22
falls a
11
=a
22
,so wahlt man =
4
, sodass cos2=0
Bei einem Koordinatenwechsel x =Py sind i.A. die 2 Matrizen A und
~
A = P t
AP
verschieden.Jedoch:
Satz: FallsP 2O(2), so giltdet(A)=det(
~
A).
Beweis: det(
~
A)=det(P) 2
det (A)=det (A), da(detP) 2
=1furP 2O(2).
Die Zahl
D(q):=det (A)
ist also unabhangig vom speziellen Koordinatensystem, falls wir uns auf Koordina-
tentransformationenP 2O(2)einschranken. Sieheisst Diskriminante von q.
Satz: Sei q(x
1
;x
2 )=x
t
Ax eine quadratische Form in 2Variablenx
1
;x
2 .
(1) FallsD(q)=det(A)=a
11 a
22 a
12
6=0,sogibt eseine Drehung P =R ( )so,
dass furx=Py,
~ q(y
1
;y
2 )=a
1 y
2
1 +a
2 y
2
2
; a
1 a
2 6=0:
(2) FallsD(q)=0, sogibt es eine Drehung P =R ( )so, dass
~ q(y
1
;y
2 )=a
1 y
2
1 :
Beweis: Sei P so, dass
~
A =P t
AP = a1 0
0 a
2
diagonal wird. Falls D(q) 6= 0, so sind
a
1 unda
2
6=0und Fall(1)folgt.FallsD(q)=0,somuss a
1
oder a
2
=0.Durcheine
weitere Drehung, konnen wir erreichen, dass a
2
=0.
Korollar: Sei q(x
1
;x
2 )=x
t
Ax. FallsD(q)=0,so lasst sich q(x
1
;x
2
) schreiben als
q(x
1
;x
2
)=c(ax
1 +bx
2 )
2
; a;b;c2R
Beweis vom Korollar: Falls x = Py die Koordinatentransformation ist, so folgt
y=P 1
x=P t
x(da P 1
=P t
) insbesondere
y
1
= p
11 x
1 +p
21 x
2
y
2
= p
12 x
1 +p
22 x
2 :
Also q(y~
1
;y
2 )=a
1 (p
11 x
1 +p
21 x
2 )
2
=q(x
1
;x
2
).
Eslasst sichnochmehraus der Diskriminanteholen;fallsD(q)6=0,soistentweder
D(q)>0: da D(q)=a
1 a
2
sind beide positivoder beide negativ.
Es folgt aus q(y~
1
;y
2 )=a
1 y
2
1 +a
2 y
2
2
~ q(y
1
;y
2
)=0()(y
1
;y
2
)=(0;0)
also
q(x
1
;x
2
)=0()(x
1
;x
2
)=(0;0).
Die Form heisst positiv-denit, falls a
1
und a
2
> 0 und negativ-denit, falls a
1 und
a
2
<0.
D(q)<0: Sei z.B.a
1
>0 und a
2
<0;a
1
=b 2
1
;a
2
= b 2
2 .
Es folgt:
~ q(y
1
;y
2 )=b
2
1 y
2
1 b
2
2 y
2
2
=(b
1 y
1 +b
2 y
2 )(b
1 y
1 b
2 y
2 )
und zuruck:
q(x
1
;x
2
) = (c
1 x
1 +c
2 x
2 )(d
1 x
1 +d
2 x
2 )
f(x
1
;x
2 )=a
11 x
2
1 +2a
12 x
1 x
2 +a
22 x
2
2 +b
1 x
1 +b
2 x
2
+c=0:
DurcheinegeeigneteKoordinatentransformationlasstsichdasGlied2a
12 x
1 x
2 elimi-
nieren. Wir durfen also annehmen, dass a
12
= 0, somit (mit anderen KoeÆzienten
b
1
;b
2 )
f(x
1
;x
2 )=a
1 x
2
1 +a
2 x
2
2 +b
1 x
1 +b
2 x
2
+c=0:
Fall (1) : D(q)6=0, d.h. a
1 a
2
6=0. Sei
x
1
=y
1
b
1
2a
1
x
2
=y
2
b
2
2a
2 :
Die Koordinatentransformation ist eine Translation. Es folgt (\Quadrate vervoll-
standigen"):
f(x
1
;x
2
) = a
1
y
1 b
1
2a
1
2
+b
1
y
1 b
1
2a
1
+a
2
y
2 b
2
2a
2
2
+b
2
y
2 b
2
2a
2
+c
= a
1 y
2
1 +a
2 y
2
2 +c+
b 2
1
4a
1 b
2
1
2a
1 +
b 2
2
4a
2 b
2
2
2a
2
~
f(y
1
;y
2
) = a
1 y
2
1 +a
2 y
2
2
+d; mit d =c b
2
1
4a
1 b
2
2
4a
2 :
Fall (1),1) : Esseid 6=0undD(q)>0.WirschreibendieGleichung
~
f(y
1
;y
2 )=0
als
a
1
d y
2
1 +
a
2
d y
2
2
= 1:
Da D(q)=a
1 a
2
>0,haben a
1
d und
a
2
d
das gleiche Vorzeichen.
a
1
d
und a
2
d
>0: Die Kurve besitzt keine(reelle) Punkte.
a
1
d
und a
2
d
<0. Wir setzen b
1
= r
d
a
1
und b
2
= r
d
a
2
,dann
y 2
1
b 2
1 +
y 2
2
b 2
2
= 1
1 2
Fall (1), 2) : Es sei d 6= 0 und D(q) < 0. Nehmen wir an, dass a
1
d
<0 und
a
2
d
>0. Dann gilt
y 2
1
b 2
1 y
2
2
b 2
2
= 1
mitb
1
= r
d
a
1
und b
2
= r
d
a
2
. Die Kurve isteine Hyperbel mitAsymptoten
y
2
= b
2
b
1 y
1
Fall (1), 3) : Essei D(q)6=0 und d=0.Die Gleichung der Kurve lautet:
a
1 y
2
1 +a
2 y
2
2
= 0:
IstD(q)>0,soreduziertsichdieKurveaufdenPunkt O.IstD(q)<0,z.B.a
1
>0
und a
2
<0, sosetzen wir a
1
=b 2
1
; a
2
= b 2
2
. Esfolgt
~
f(y
1
;y
2 )=b
2
1 y
2
1 b
2
2 y
2
2
=(b
1 y
1 +b
2 y
2 )(b
1 y
1 b
2 y
2 )
und die Kurve besteht aus einem Paar von Geraden,welche sich in0 schneiden.
Fall (2) : D(q)=0; a
1
6=0; a
2
=0. Die Gleichung lautet
f(x
1
;x
2 )=a
1 x
2
1 +b
1 x
1 +b
2 x
2
+c=0:
DurcheineTranslationwie vorher, erreichen wir,dass b
1
=0.WirmussendieFalle
b
2
6=0 und b
2
=0 unterscheiden:
Fall b
2
6=0 : Wir setzen
x
1
=y
1
x
2
=y
2 c
b2 :
Es folgt
a
1 y
2
1 +b
2 y
2
=0
oder y
2
= a
1
b
2 y
2
1
Die Kurve isteine Parabel.
Fall b
2
=0 : Es folgta
1 x
2
1
+c=0 oder.
x
1
= c=a
1 :
Ist c=a
1
>0, so besteht die Kurveaus 2vertikalen Geraden.
Ist c=a
1
=0, so reduziert sich dieKurve aufdie x
2
-Achse.
Ist c=a
1
<0, so hat dieKurve keine(reelle) Punkte.
Fall (2), 1) : D(q)=0 a
1
=a
2
=0.Die Gleichung
f(x
1
;x
2 )=b
1 x
1 +b
2 x
2
+c=0
ist linear, alsonicht mehr quadratisch. Wir sprechen nicht mehr von einem Kegel-
schnitt.
x5. Konstruktion der Kegelschnitte
Ellipse: DieEllipse sei durch dieGleichung
x 2
1
a 2
1 +
x 2
2
a 2
2
= 1; a
1 a
2
>0
gegeben. Sei c = p
a 2
1 a
2
2
. Die Punkte F
1
= (c;0); F
2
= ( c;0) heissen Brenn-
punkte der Ellipse.
Satz: (Fadenkonstruktion der Ellipse)
= n
P 2R 2
j jF
1
Pj + jF
2
Pj=2a
1 o
:
Beweis: (Dandelin) Sei K ein Kegel und E eine Ebene, die K langs einer El-
lipse schneidet. Es gibt genau zwei Kugeln S
1
und S
2
, die K langs eines Kreises
tangential treen und die Ebene E tangential beruhren. Es seien F
1
und F
2 die
Beruhrungspunkte von S
1
, bzw. S
2
mit E.Sei P ein Punkt auf der Ellipse.
Behauptung: jF
1
Pj + jF
2
Pj = konstant.
Beweis der Behauptung: DieMantelliniedurchP tritS
1
,bzw. S
2
ineinemPunkt,
den wir R
1
,bzw. R
2
nennen. DieStrecken PF
1
und PR
1
sind beide Tangenten von
P aus andie Kugel S
1
. Darausfolgt
jF
1
Pj = jR
1 Pj
Analog giltjF
2
Pj = jR
2
Pj, somit
jF
1
Pj+jF
2
Pj = jR
1
Pj+jR
2
Pj = jR
1 R
2 j
istunabhangigvonP.JedeEllipse lasstsichalsSchnittE\K realisieren(Ubung!).
Also gibt es furdie gegebene Ellipse Punkte F
1
und F
2
, sodass
= fP 2R 2
j jF
1
Pj+jF
2
Pj = konstantg:
Eine einfache
Uberlegung zeigt, dass die Konstante gleich 2a
1
sein muss und dass
F
1
;F
2
dieBrennpunkte sind.
Bei der Hyperbel
x 2
1
a 2
1 x
2
2
a 2
2
= 1
gibt es, ganz analog,Punkte F
1
;F
2
so dass
= n
P 2R 2
j jPF
1
j jPF
2 j=2a
1 o
Ubung: Die Parabellasst sich als Ort der Punkte beschreiben, welche den gleichen
Abstand zu einem festen Punkt F und einer festen Geradeg haben.
Anhang: Ellipsen in Parameterdarstellung
Der Punkt P 2R 2
mitKoordinaten
x
1
=rcost x
2
=rsint
hat Polarkoordinaten r und t;es folgt,dass der KreismitZentrum Ound Radius r
die Parameterdarstellung:
x
1
=rcost
t2 [0;2[ 7 !
x
2
=rsint
besitzt. Allgemein, zwei Funktionen t 7! f(t); t 7! g(t), welche auf dem gleichen
Intervall I gegeben sind, denieren eine Kurve in Parameterdarstellung:
x
1
=f(t)
t2I 7 !P :
x
2
=g(t)
Kann man t aus den 2 Gleichungen x
1
= f(t); x
2
= g(t) eliminieren, so bekommt
man eine \implizite"Gleichung
f(x
1
;x
2
) = 0
1 2
x 2
1 +x
2
2 r
2
=0
aus den Gleichungenx
1
=rcost; x
2
=rsint, dacos 2
t+sin 2
t =1.
Es ist nicht unbedingt zweckmassig eine Parameterdarstellung durch eine implizite
Gleichung zu ersetzen.
4
!
Die Gleichung
x 2
1
a 2
1 +
x 2
2
a 2
2
= 1; a
1 a
2
der Ellipse fuhrt zwangsmassig zur Parameterdarstellung
x
1
=a
1
cost x
2
=a
2 sint:
Um eine geometrische Interpretation des Parameters t zu bekommen, betrachten
wir die zweikonzentrischen KreiseS
1
bzw. S
2
mitZentrum O und Radius a
1 , bzw.
a
2
. Der Strahl aus O mit festem Winkel t mit der x
1
-Achse schneidet S
1 in P
1
=
(a
1
cost;a
1
sint) und S
2 inP
2
=(a
2
cost;a
2
sint). Der Punkt P =(a
1
cost;a
2 sint)
auf der Ellipse ist der Schnittpunkt der vertikalen Geraden x
1
= a
1
cost mit der
horizontalen Geraden x
2
=a
2
sint. (Figur!) DieseInterpretationvomParameter t
lieferteine einfache punktweise Konstruktion der Ellipse.
Bemerkung: Man kann dieEllipse auch rationalparametrisieren: Die Gerade
x
2
= t(x
1 +a)
schneidet die Ellipse x
2
1
a 2
+ x
2
2
b 2
=1 in 2 Punkten: der Punkt ( a;0) und der Punkt
P =(x
1
;x
2 ) mit
x
1
=a b
2
a 2
t 2
b 2
+a 2
t 2
; x
2
=b
2abt
b 2
+a 2
t 2
:
Es folgt,dass
t 7!x
1
=a b
2
a 2
t 2
b 2
+a 2
t 2
; x
2
=b
2abt
b 2
+a 2
t 2
; t2R
auch eine Parameterdarstellungder Ellipse(ohne ( a;0))ist.
Bemerkung: In der Analysis fuhrt man diehyperbolischen Funktionen ein
t7!sinht; t 7!cosht:
Sie erfullen die Identitat cosh t sinh t= 1 und liefernsomit eine Parameterdar-
stellung der Hyperbel
x 2
1
a 2
1 x
2
2
a 2
2
=1
namlich
x
1
=a
1
cosht x
2
=a
2 sinht:
Der Parameter t lasst sich alsFlache interpretieren (Analysis!)
