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1. Gegeben sind die Funktionen f : x 7→ (e

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Seminar 9

Jörn Loviscach

Versionsstand: 29. November 2010, 21:56

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1. Gegeben sind die Funktionen f : x 7→ (e

x

+ e

x

)/2 und g : x 7→ (e

x

− e

x

)/2.

(a) Skizzieren Sie diese.

(b) Zeigen Sie: f (0) = 1 und g(0) = 0.

(c) Zeigen Sie: f ist gerade und g ist ungerade.

(d) Zeigen Sie: ³ f (x) ´

2

³ g(x) ´

2

= 1 für alle reellen Zahlen x.

(e) Zeigen Sie: f

0

= g und g

0

= f .

(f) Zeigen Sie: f (x + y) = f ( x) f ( y) + g(x) g( y) für alle reellen Zahlen x und y.

(g) Geben Sie an, inwiefern Ähnlichkeiten zu Sinus und Cosinus bestehen.

2. Gegeben ist die Funktion h : x 7→ (1 − e

x

)/(1 + e

x

).

(a) Zeigen Sie, dass diese Funktion ungerade ist.

(b) Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten von h(x) für x → ±∞ . (c) Skizzieren Sie h.

(d) Wie hängt h mit den beiden Funktionen der vorigen Aufgabe zusam- men?

(e) Ist h umkehrbar? Falls ja, geben Sie eine Rechenvorschrift für die

Umkehrfunktion an.

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