(ii)⇒ (iii): Aus der Jensen’schen Ungleichung folgt, dass E[|Xn|]−E[|X|] ≤E |Xn

SS 2014 Jetlir Duraj (geText von Marcus Kaiser) Wahrscheinlichkeitstheorie

L¨osung zu H2, Blatt 10

Bevor wir H2 l¨osen beweisen wir den folgenden Satz.

Satz Falls Xn

n→∞−→ XP-f.s., so sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent:

(i) {X_n :n≥0} ist gleichgradig integrierbar, (ii) X_n ^n→∞−→ X inL¹,

(iii) E[|X_n|]^n→∞−→ E[|X|]<∞.

Beweis

(i)⇒(ii): Siehe Vorlesung.

(ii)⇒ (iii): Aus der Jensen’schen Ungleichung folgt, dass E[|Xn|]−E[|X|]

≤E

|Xn| − |X|

≤E[|Xn−X|]^n→∞−→ 0.

(iii)⇒ (i): Sei

Ψ_M(x) =







x, auf [0, M−1]

0, auf [M,∞)

linear fortgesetzt, auf [M −1, M].

Mit dominierter Konvergenz erh¨alt man, f¨ur M groß genug, dass E[|X|]−E[ΨM(|X|)]≤ ε

3

Ausserdem impliziert die dominierte Konvergenz f¨ur feste M > 0, dass E[ΨM(|Xn|)]^n→∞→ E[ΨM(|X|)].

Also gilt f¨ur n≥n₀, f¨ur einn₀ groß genug, dass E[|X_n|,|X_n|> M]≤E[|X_n|]−E[Ψ_M(|X_n|)]≤ E

(iii)[|X|]−E[Ψ_M(|X|)] + 2ε 3 ≤ε.

W¨ahle nun M noch gr¨osser, sodass sup

n≤n₀

E[|X_n|,|X_n|> M]≤ε.

Hieraus folgt nun, dass f¨ur alleM gross genug gilt, dass sup

n∈N

E[|X_n|,|X_n|> M]≤ε.

Hieraus folgt (i).

Nun kommen wir zum Beweis von H2:

Wir wissen aus dem obigen Satz, dass 1,2 und 3 ¨aquivalent sind, da 1. ⇔ (ii), 2. ⇔ (i) und 3. ⇔(iii).

Wir zeigen nun 3.⇒4. und anschliessend 4.⇒1..

Sei alsoE[M∞] = 1. Dann gilt, dassM∞>0 mit positiver Wahrscheinlichkeit⇔√ M∞ >

0 mit postiver Wahrscheinlichkeit. Also gilt E[√

M∞]>0.

Weiter gilt

∞

Y

n=1

Ehp X_ni

= lim

m→∞

m

Y

n=1

Ehp

X_ni _Unabh.

= lim

m→∞E

" _m Y

n=1

pX_n

#

= lim

m→∞Ehp M_mi

≥Ehp M_∞i

>0,

wobei wir bei der ersten Ungleichung neben dem Lemma von Fatou die (Folgen-)Stetigkeit von √

· verwendet haben. Somit haben wir 3.⇒4. gezeigt.

Nun zeigen wir noch, dass 4. ⇒ 1. gilt. Sei hierf¨ur b_n := Qn

i=1E[√

X_i] und b_∞ = Q∞

i=1E[√

X_i]>0. Definiere weiter T_n :=Qn

i=1Z_i mit Z_i =√

X_i/E[√ X_i].

Bemerkung: Z_i ist wohldefiniert, da E[X_i] = 1 impliziert, dass √

X_i > 0 mit positiver Wahrscheinlichkeit eintritt und daher gilt, dass E[√

X_i]>0.

Mit der obigen Definition gilt, dassE[X_i] = 1 und (T_i)_i∈N ist wieder ein Martingal wie in Aufgabe T3, welches gegen P-f.s. gegen ein T∞ konvergiert.

Ausserdem k¨onnen wir aus

E[T_n²] = 1/(b²_n) folgern, dass

sup

n∈N

E[T_n²] = 1/(b²_∞)<∞

und erhalten damit, dass (T_n)_n∈N ein in L² beschr¨anktes Martingal ist (hier haben wir benutzt, dass 0< b_n≤1, n ∈N gilt). Also gilt nach dem Martingalkonvergenzsatz in der L^p-Version f¨urp= 2, dassT_n^n→∞−→ T∞ P-f.s. und inL².

Weiter gilt, dass der Grenzwert durch T_∞ =√

M_∞/b_∞ gegeben ist.

Durch Umstellen der Formel erh¨alt man nun, dassM_n=T_n²b²_nf¨urn≥1 undM∞=T_∞²b²_∞. Daraus folgt mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, dass

E[|M∞−Mn|] =E[|Tnbn+T∞b∞||Tnbn−T∞b∞| ≤E[|Tnbn+T∞b∞|²]^1/2E[|Tnbn−T∞b∞|²]^1/2. Als n¨achstes Zeigen wir, dass der erste Erwartungswert gleichm¨assig (in n) beschr¨ankt und der zweite eine Nullfolge ist:

Hierzu gilt

E[|T_nb_n+T_∞b_∞|²]≤2E[T_n²]b₁+ 2b²_∞E[T_∞²]≤2b₁sup

n∈N

E[T_n²] + 2b²_∞E[T_∞²]<∞.

Weiter haben wir

E[|T_nb_n−T∞b∞|²]^1/2 =kT_nb_n−T∞b∞k₂ ≤ kT_nb_n−T_nb∞k₂+kT_nb∞−T∞b∞k₂

=|b_n−b_∞|kT_nk₂+|b_∞|kT_n−T_∞k₂ ^n→∞−→ 0.

Hieraus folgt die Behauptung.