Aufgabe 1 Es sei (Xn)n∈N eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit E(Xn

Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie 12. Übungsblatt

PD Dr. Dr. C. Schneider P. Fink, M.Sc.

Aufgabe 1

Es sei (Xn)n∈N eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit E(X_n) = 0 für alle n ∈N. Zeigen Sie, dass die Folge

Sk = expλ(X₁+. . .+X_k)

h

E

exp(λX₁)^ik

ein Martingal ist.

Aufgabe 2

Es sei (X_n)_n∈N eine Folge unabhängiger und identisch verteilter nicht negativer Zufalls- variablen mit existierendem Erwartungswert. Bildet die Folge (S_n)n∈N mit

S_n =

n

X

i=1

X_i

ein (Sub-/Super-)Martignal oder überhaupt keines?

Aufgabe 3

Beweisen Sie Satz 12.32 aus der Vorlesung.

Satz 12.32. Sei(X_n)n∈Neine Folge quadratintegrierbarer Zufallsvariablen auf dem Wahr- scheinlichkeitsraum (Ω,A, P) und (a_n)_n∈N eine isotone Folge positiver reeller Zahlen mit a_n% ∞, so dass

∞

X

n=1

E

X_n²

a²_n < ∞ ist. Dann gilt

n→∞lim 1 an

n

X

i=1

X_i−E(X_i|Xi−1, . . . , X₁)

!

= 0 P - f.s.

Aufgabe 4

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) sei eine Folge von Zufallsvariablen (X_n)n∈N

gegeben bezüglich einer monoton wachsenden Folge von Sub-σ-Algebren (A_n)n∈N. Sei T eine Stoppzeit. Betrachtet wird das Mengensystem

A_T ={A∈ A:A∩ {T ≤n} ∈ A_n für alle n}.

a) Zeigen Sie, dassAT eine σ-Algebra ist.

b) SeiS eine weitere Stoppzeit mit S ≤T . Zeigen Sie, dass dannA_S ⊂ A_T. c) Zeigen Sie, dassT und X_T A_T - messbar sind.

Übung: Mo 16–18h –1– Bearbeitung: 25.01.2016