Aufgabe 1. Es sei (X n ) n∈ N eine Folge von unabhängigen und identisch mit p = 1 7 Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen gegeben. Wir wählen α > 1 7 und setzen S n :=

Technische Universität Chemnitz Stochastik Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 10

Abgabe am 17. Juni bzw. am 19. Juni in der Übung

Aufgabe 1. Es sei (X _n ) n∈ N eine Folge von unabhängigen und identisch mit p = ¹ ₇ Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen gegeben. Wir wählen α > ¹ ₇ und setzen S _n :=

P n

j=1 X _j . Zeigen Sie, dass S _n ≥ αn fast sicher nur für endlich viele n ∈ N gilt.

Hinweis: Erinnern Sie sich an die Bernstein-Ungleichung.

Aufgabe 2. Eine einfache asymetrische Irrfahrt (X _n ) n∈ N

auf Z mit Drift δ ∈ [−1, 1] \{0}

und Start in X ₀ = 0 ist gegeben durch

P (X 0 = 0) = 1 and P (X n+1 = y | X n = x) =



 

 

p (y = x + 1) 1 − p (y = x − 1)

0 (y / ∈ {x − 1, x + 1}), für x, y ∈ Z und n ∈ N ⁰ , wobei p := (1 + δ)/2 ∈ [0, 1]. Zeigen Sie, dass die Irrfahrt fast sicher nur endlich oft zum Ursprung zurückkehrt.

Aufgabe 3. Sei P ∈ R ^N×N eine stochastische Matrix.

(a) Zeigen Sie, dass für k ∈ N die Matrix P ^k wieder stochastisch ist.

(b) Weisen Sie nach, dass P den Eigenwert 1 hat.

(c) Zeigen Sie, dass es einen linksinvarianten Vektor v ∈ R ^N \ {0} gibt, d.h., v ^> P = v ^> . Aufgabe 4. Das Wetter in Gotham City kennt nur drei Lagen: Sonne, Nebel und Hagel.

Am heutigen Montag scheint die Sonne.

(a) Die Ganoven nehmen an, dass das Wetter an verschiedenen Tagen unabhängig ist, und finden mit Hilfe einer Statistik heraus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass an einem beliebigen Tag die Sonne scheint, 8/15 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit für Nebel ist 4/15, und die Wahrscheinlichkeit für Hagel ist 3/15. Diese Information wollen sie für einen zweitägigen Coup am Mittwoch und Donnerstag der aktuellen Woche nutzen. Geben Sie die Verteilungen der Zufallsvariablen

X := Wetter am Mittwoch und Y := Wetter am Donnerstag sowie deren gemeinsame Verteilung an.

( ý ) Batman hat von den Plänen der Ganoven Wind bekommen. Er modelliert das

Wetter als stationäre Markovkette und hat folgende Übergangswahrscheinlichkeiten

ermittelt:

P (Y = j | X = i) j = Hagel j = Nebel j = Sonne

i = Hagel 0 0 1

i = Nebel 1/4 1/2 1/4

i = Sonne 1/4 1/4 1/2

Zeigen Sie, dass Batmans Modell und das der Ganoven insofern zusammenpassen, als dass die Wetterverteilung der Ganoven sich nach Batmans Modell selbst reproduziert.

(c) Welche Verteilung ermittelt Batman für X und Y am (sonnigen) Montag?

(d) Wie sieht die gemeinsame Verteilung von X und Y nach Batmans Modell aus?