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(4 Punkte) Zeigen Sie, dass jede rationale Abbildung

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Academic year: 2021

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Fachbereich Mathematik und Informatik Wintersemester 2008/09 Universitat Marburg

Prof. Dr. Th. Bauer

Ubungen zur Algebraischen Geometrie { Blatt 10 {

Abgabe Dienstag, 13.1.2009, 10 Uhr s.t.

Aufgabe 33 (Rationale Abbildungen). (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass jede rationale Abbildung ' : P1 ! Pn regular ist.

Aufgabe 34 (Die Cayley-Kubik). (4 Punkte)

Es sei X P3 eine irreduzible Kubik mit mindestens vier Singularitaten, die nicht alle in ein einer Ebene liegen. Zeigen Sie, dass es bis auf projektive Aquivalenz nur eine solche Kubik gibt, namlich die mit der Gleichung

x0x1x2+ x0x1x3+ x0x2x3+ x1x2x3 = 0 : Insbesondere besitzt X dann genau vier Singularitaten (char(K) 6= 2).

(Hinweis: Nach einer projektiven Transformation durfen Sie vier singulare Punkte in fur Sie gunstiger Lage annehmen. Uberlegen Sie dann, was sich uber die Gleichung von X sagen lasst.)

Aufgabe 35 (Veronese-Abbildung). (4 Punkte)

Wir betrachten die Monome vom Grad d

yi0;:::;in := xi00xi11: : : xinn ; i0+ i1 + + in= d :

Die rationale Abbildung vd: Pn ! PN, [x0 : : xn] 7! [yd;0;:::;0 : : y0;:::;0;d] (Abzahlung beliebig aber fest gewahlt) mit N = n+dd

1 nennen wir Veronese-Abbildung vom Grad d.

Zeigen Sie, dass V := vd(Pn) eine projektive Varietat und vd ein Isomorphismus Pn ! V ist.

Aufgabe 36 (Ane Teilmengen von projektiven Varietaten). (4 Punkte) Sei X Pn eine projektive Varietat und Y Pn eine Hyperache. Zeigen Sie, dass X n Y zu einer anen Varietat isomorph ist. ("X n Y ist an.\)

(Hinweis: Betrachten Sie das Bild von X n Y unter der Veronese-Abbildung vom geeigneten Grad.)

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