Lösungsvorschlag Blatt 6 1

Lösungsvorschlag Blatt 6

1

Rekonstruktion über Produktansatz, Linearfaktoren, Vielfachheit der Nullstellen:

2 2

y=f (x)=  −k (x 2) (x 10) −

Bestimmung von k durch Einsetzen der Koordinaten von H(6|10):

2 2

6 6

10=f (x= )=  −k ( 2) ( −6 10)

2 2

10= k (4) ( 4) − =256 k k 10

= 256

Funktionsgleichung in Produktform:

2 2

y f (x) 10 (x 2) (x 10)

= = 256 −  −

2 2

y f (x) 10 (x 4x 4) (x 20x 100)

= = 256 − +  − +

2 3

4 2 3 2

y f (x) 10 ( 400)

5 0 400x 80

2 6 x −2 x 100x −4x 80x − 4x x

= =  + + + − +

4 3 2

y f (x) 10 (x 24x 184x 480x 400)

= = 256 − + − +

4 3 2

10 15 115 75 125

y f (x) x x x x

256 16 16 4 8

= =  −  +  −  + (q. e. d.)

2

Flächenberechnung durch Integration:

10 10

4 3 2

2 2

10 15 115 75 125

F f (x) dx { x x x x } dx

256 16 16 4 8

=





5

10

3 2

2

1 1 4 1

10 15 115 75 125

F 1

x x x x x

256 5 16 4 16 3 4 2 8

 

=  −  +  −  +  

10

5 4 3 2

2

1 15 115 75 125

F x x x x x

128 64 48 8 8

 

=  −  +  −  +  

5 4 3

5 4 3

2

2

1 15 115 75 1

)

10 10 10 10 25 1

1 15 115 75 125

2 2 2 2 2

128 6

F 2

( 4 48 8 8

1 8 −64 + 48  − 8 8 0





−

+ 

 −  + 

− + 

=

F ( ) 128(FE) 42, 67 (FE) 3

5 113 6

12 2

= 12 − = 

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3

Näherungswert durch Berechnung der Dreiecksfläche:

genähert

F =40 (FE)

4

Symmetrisches „Ersatzproblem“:

-3

y

-2

x

-4 -1

H^g

f^pfiffig(x) = f^g(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A^g

10

2 3

0 1 4

B^g

Wird der Graph von f(x) um 6 in negative x-Richtung verschoben, so ändert sich die Fläche zwischen Graph und x-Achse nicht, aber die Funktion y=f_pfiffig(x)f (x)_g , die diesen Graph beschreibt, ist gerade, also symmetrisch zur y-Achse, was viele Vorteile hat.

2 2

y=f (x)g =  +k (x 4)  −(x 4)

Bestimmung von k durch Einsetzen der Koordinaten von H (0_g |10):

2 2

f (xg ) k ( 4) ( 4) 256 k 10= =0 =  +0  −0 =  Funktionsgleichung in Produktform:

2 2

g

y f (x) 10 (x 4) (x 4)

= =256 +  −

Ein entscheidender Rechenvorteil ergibt sich hier durch die geschickte Anwendung der Potenzgesetze und der binomischen Formeln:

2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

(a+b) (a −b) =[(a+  −b) (a b)] =[a −b ] =a −2a b +b statt (a+b) (a² −b)²=(a²+2ab b ) (a+ ²  ²−2ab b )+ ² =

2 2 2 4 2

g

10 10 10

y f (x) [(x 4) (x 4)] [x 16] [x 32 x 256]

256 256 256

= =  +  − =  − =  −  +

4 2

g

10 5

y f (x) x x 10

256 4

= =  −  + (q. e. d.)

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5

Flächenberechnung durch Integration:

Ein entscheidender Rechenvorteil folgt hier aus der Symmetrie der Fläche. Daher kann von 0 bis 4 integriert und die so erhaltene Fläche mit dem Faktor 2 multipliziert werden:

4 4 4

4 2

g g

4 0 0

10 5

F f (x) dx 2 f (x) dx 2 { x x 10} dx

256 4

−

=







4

0

5 3

10 5

F 2 10

256

1 1

x 4 x x

5 3

 

=   −  +  

4

5 3

0

1 5

F 2 x x 10 x

128 12

 

=   −  +  

5 3 64 128

F 2 ( 1 5 ) )

4 4 10 4

128 12 0 2 (FE) 42, 67 (FE

3 3

=   −  +  − =  = 