Lösungsvorschlag Blatt 5
1
Schnittpunkte der Graphen der Funktionen g(x) und h(x):
Schnittpunkte immer durch Gleichsetzen: g(x)=h(x)
2 2
5 x 2 x 1
2 − = − − kann direkt nach x aufgelöst werden. 2 7 2
x 1
2 = , also x2 2
= 7
S2, S3
x 2 0,5345
= 7 =
2
Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f(x) und g(x):
Schnittpunkte immer durch Gleichsetzen: f (x)=g(x)
3 2
1 5
x 1 x 2
2 + = 2 −
Wir sehen, das läuft auf eine Polynomdivision hinaus. Um deren Durchführung mit Brüchen zu vermeiden, multiplizieren wir mit 2:
3 2
x − 5 x + =6 0
In der Aufgabenstellung ist bereits eine Lösung x= −1 gegeben, also erfolgt Division durch den Faktor (x 1)+ . Außerdem wird aus bereits bekannten Gründen ein
„Dummy-Term“ + 0 x eingefügt. Dann erhalten wir:
3 2 2
(x − 5 x +0 x +6) : (x 1)+ =x −6 x +6
Zu lösen bleibt nun noch die quadratische Gleichung:
x2− + =6 x 6 0 mit
S4, S5
x = 3 9 6− = 3 3
xS5 = +3 3=4, 7321 ist irrelevant. (Warum tritt dieser Schnittpunkt auf?)
xS4 = −3 3=1, 2679
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3
Berechnung der Fläche A:
Einfachste Vorgehensweise:
Zunächst Berechnung der Fläche Af g− zwischen den Graphen von f(x) und g(x).
Dann Abzug der Fläche Ah g− zwischen den Graphen von h(x) und g(x):
f g h g
A=A− −A −
Mit
3 2 3 2 3 2
1 5 1 5 1 5
f (x) g(x) x 1 x 2 x 1 x 2 x x 3
2 (2 ) 2
2 2 2
− = + − − = + − + = − +
,
folgt
2 4
3 3 3 3
3 f g
1 1
1 5 1 5 3
A ( x x
3) dx 3 3
2 2
1 1
2 x 2 x x
4
− −
−
− −
=
− + = − + 3 3
4 3
f g
1
1 5 49
A x x 3 x 2, 4282 ( ) 4, 46987 (FE)
8 6 24
−
−
−
= − + = − − =
Mit
2 2 2 2 2
1
(5 ) 5 7
h(x) g(x) x 1 x 2 x 1 x 2 x
2 2 2
= − − − = − − − + = −
− − +
,
folgt
2/7 2/7 2/7
2 2
h g
0 0 2
3 /7
7 7 7
A ( x 1) dx 2 ( x 1) dx 2 x
2 2 2
1x
− 3
−
=
− + =
− + = − + 2/7 3
h g
0
7 2 14 4 14
A 2 x x 2 ( ) (FE) 0, 7127 (FE)
6 21 0 21
−
= − + = − = =
und schließlich:
f g h g
A=A − −A − =4, 46987 (FE) 0, 7127 (FE)− =3, 75717 (FE)
Alternative Vorgehensweise:
Vertikale Unterteilung gemäß Zeichnung: A=A1+A2+A3
Tipp: Unbedingt auch einmal Ausprobieren! Hat aber nicht höchste Priorität!
