Lösungsvorschlag Blatt 10 (beispielhaft für Bauelement I)
1
Aufstellung der Zielfunktion:
V(a, h)=6a h2
Fläche A: 2 Deck-, (Boden-)fläche (je 6a2
)
, 14 Seitenflächen-Elemente (je ah)
2 2
A=2 6a +14ah=12a +14 ha =14.400
Das ist die Nebenbedingung, mit deren Hilfe h aus V(a, h)=4a h2 eliminiert werden kann. Umstellen nach h
14ah=14.400 12a− 2
liefert
14.400 12a2
h 14a
= − .
Einsetzen und Vereinfachen liefert die Zielfunktion V(a):
2
V(a)=6a2 =h 6a 2 4a 14.400 12a
1
−
3 2
V(a) a (14.400 12a )
=7 −
43.200 36 3
V(a) a a
7 7
= −
Ermittlung der Maximalstelle bzw. des „Hochpunkts“:
allgemein: y=f (x) =0
V (a) 12,96 16 a = − 2=0 V (a) 43.200 108 a2 0
7 7
= − =
2 43.200
a 400
= 108 = a= 400=20 (cm)
Verifizierung des Maximums durch Einsetzen in die 2. Ableitung:
V (a) 216 a
= − 7
V (a 20) 216 20 0
= = − 7 und daher Maximum bzw. „Hochpunkt“
Höhe h:
Setzen Sie a=20 (cm) einfach in die für h schon ermittelte Gleichung ein.
2 2
14.400 12a 14.400 12 20 240
h (cm) 34, 29 (cm)
14a 14 20 7
− −
= = =
2
Maximales Volumen:
2 3
240 240
V(a 20 cm; h cm) 6 (20 cm) cm 82.285, 7 cm
7 7
= = =
3
Verhältnis a/h:
a 20 7
h 240 12
7
= =
4
Vergleich: Höhe und Volumen für halbierten Wert von a
2 2
14.400 12a 14.400 12 10 660
h (cm) 94, 29 (cm)
14a 14 10 7
− −
= = =
,
2 3
660 660
V(a 10 cm; h cm) 6 (10 cm) cm 56.571, 4 cm
7 7
= = =
und auch wenn es nicht gefragt war: a 10 7
h 660 66
7
= =
