Lösungsvorschlag Blatt 1 1

Lösungsvorschlag Blatt 1

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Berechnung der Koeffizienten von n=n(t):

Ansatzfunktion:

3 2

3 2 1 0

n=n(t)=a t +a t +a t+a Ableitung:

2

3 2 1

n=n (t) =3a t +2a t+a

Einarbeitung der Bedingungen in Punkt A:

Graph verläuft durch A(0; 0), also

n(t=0)=0, a 0₃ ³ + a₂0² + a 0₁ +a₀ =0, a₀ =0 außerdem:

n (t = =0) 0, 3a 0₃ ² + 2a₂0 + =a₁ 0, a₁=0 Ansatzfunktion Zwischenbilanz:

3 2

3 2

n=n(t)=a t +a t

2

3 2

n=n (t) =3a t +2a t

Einarbeitung der Bedingungen in Punkt B:

Graph verläuft durch B(7; 6272), also

n(t=7)=6272, a 7₃ + ³ a₂ 7² =6272, 343 a +₃ 49 a ₂ =6272 / : 7 außerdem:

2

3 2

n (t = =7) 3a 7 +2a  =7 1008

,

Lineares Gleichungssystem, Lösung idealerweise mit Additionsverfahren:

3 2

49 a + 7 a =896 /  −( 2)

3 2

147 a + 14 a =1008

3 2

98 a 14 a 1792

−  −  = −

3 2

147 a + 14 a =1008

Addition liefert nun zunächst

49 a = −3 784, also ₃ 784

a 16

= − 49 = −

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Einsetzen beispielsweise in 49 a + ₃ 7 a₂=896 liefert dann

49 ( 16) 7 a − +  2 =896 oder −784 7 a+  ₂=896 oder 7 a ₂ =1680, so dass a2 =240

Und daher insgesamt:

3 2

n(t)= −  +16 t 240 t (Übereinstimmung!)

Nun werden zur weiteren Verwendung noch die ersten drei Ableitungen berechnet:

n (t) = −  +48 t2 480 t n (t) = −  +96 t 480 n (t) = −96

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Bedeutung der ersten Ableitung:

Die Ableitung steht immer für die Änderung der abgeleiteten Funktion, für eine Funktion y=f (x) ist sie quasi die Antwort auf die Frage:

Wie stark ändert sich der y-Wert, wenn ich in x-Richtung „voranschreite“. Das ist also nichts anderes als die Frage nach der (Tangenten-)Steigung.

Im konkreten Fall:

Wie viele Algen kommen an einem Tag hinzu? Wachstumsrate, Wachstums- oder Vermehrungsgeschwindigkeit

3

Zeitpunkt des stärksten Algenwachstums …:

Suche des Maximums des Wachstums (der Steigung), also Suche des Wendepunkts:

n (t) =0 und daher −  +96 t 480=0, also 480

t (d) 5 (d)

= 96 = Verifizierung des Wendepunkts mit Hilfe der 3. Ableitung:

n (t = = − 5) 96 0, daher tatsächlich ein Wendpunkt!

Anzahl der Algen zu diesem Zeitpunkt? Einsetzen in die „Originalfunktion“ n(t):

3 2

n(t= = −  +5) 16 5 240 5 =4000

Anzahl der Algen, die pro Tag dazukommen? Einsetzen in 1. Ableitung n´(t):

n (t = = −  +5) 48 52 480 5 1200 (1/ d) =

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4

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Zahl der Algen einen Maximalwert erreicht hat. Wie groß ist er?

Suche nach „Hochpunkt“: n (t) 0 = und daher −  +48 t² 480 t =0, also nach Ausklammern von t

t ( 48 t −  +480)=0 mit trivialer Lösung t=0 (d) („Tiefpunkt“ hier ohne Nachweis)

und weiter −  +48 t 480=0, also t=10 (d).

Verifizierung des Hochpunkts mit Hilfe der 2. Ableitung:

n (t =10)= −  +96 10 480= −4800, daher tatsächlich ein Hochpunkt!

Anzahl der Algen zu diesem Zeitpunkt? Einsetzen in die „Originalfunktion“ n(t):

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n(t=10)= − 16 10 +240 10 =8000.

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Nach welcher Zeit wäre die Algenpopulation vollständig ausgestorben?

Keine Algen mehr, das heißt n(t)=0, also Berechnung der Nullstelle(n):

3 2

16 t 240 t 0

−  +  = , und nach Ausklammern t² −  +( 16 t 240)=0 mit trivialer Lösung t=0 (d) („Startpunkt“)

Aus −  +16 t 240=0 folgt 240

t (d) 15 (d)

= 16 = .

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Der Biologe beobachtet jedoch, dass ab t=11 (d) eine lineare Abnahme der Algenzahl erfolgt. Der Übergang zwischen der ganzrationalen Funktion 3. Grades und der linearen Funktion erfolgt „glatt“, also ohne Knick an der „Anschlussstelle“ der beiden Graphen.

Berechnung der linearen Funktion:

Diese lineare Funktion n=n (t)_lin ist also die Tangente an die Funktion

3 2

n(t)= −  +16 t 240 t an der Stelle t=11, n(t=11)= − 16 11³+240 11 ² =7744 mit der Tangentensteigung n (t =11)= − 48 11²+480 11 = −528.

Gesucht ist mit anderen Worten eine Gerade, die durch den Punkt (11; 7744) verläuft und die Steigung -528 hat.

n=n (t)lin =−528 +t b (b: wie gewohnt) Einsetzen von (11; 7744):

b 52

7744=− 8 +11 und daher b 13552= , so dass nun:

n=n (t)lin = −528 t 13552 +

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Wie viele Algen sind dann bei t=16 (d) noch vorhanden?

Einfach in Tangentengleichung einsetzen:

n (tlin =16)= −528 16 13552 + =5104

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Nach welcher Zeit ist die Algenpopulation ausgestorben?

Keine Algen mehr, das heißt hier nun n (t)_lin =0, also Berechnung der Nullstelle:

528 t 13552 0

−  + = und daher t ¹³⁵⁵²(d) ⁷⁷ (d) 25, 67 (d)

528 3

= =  .

Extra

Hier abschließend noch einmal die Gesamtsituation und eine Ausschnittver- größerung:

0 5 10 15 20 25 30

0 2000 4000 6000 8000 10000

nlin(t) n(t)

n

t / d

8 9 10 11 12 13

6000 7000 8000 9000 10000

nlin(t) n(t)

n

t / d