Lösungsvorschlag Blatt 7 1

Lösungsvorschlag Blatt 7

1

Berechnung der Koeffizienten des Höhenprofils y=f(x):

Ansatzfunktion:

4 3 2

4 3 2 1 0

y=f (x)=a x +a x +a x +a x+a Ableitungen:

3 2

4 3 2 1

y=f (x) =4a x +3a x +2a x+a

2

4 3 2

y=f (x) 12a x = +6a x+2a

Einarbeitung der Bedingungen in Punkt A:

Graph verläuft durch A(0; 1), also

y=f (x=0) 1= , a₄0⁴ + a₃0³ + a₂0² + a 0₁ +a₀ =1, a₀ =1 Steigung (1. Ableitung) beträgt −¹₄, also

y f (x 0) 1

=  = = −4, 4a₄0³ +3a₃0² + 2a₂0 ₁ 1

a 4

+ = − , ₁ 1 a = −4 A(0; 1) ist Wendepunkt. Also

y=f (x =0)=0, 12a₄0² + 6a₃0 +2a₂ =0, a₂ =0 Ansatzfunktion Zwischenbilanz:

4 3

4 3

y f (x) a x a x 1 x 1

= = + −  +4 ^, ₄ ³ ₃ ² 1

y f (x) 4a x 3a x

=  = + −4 Einarbeitung der Bedingungen in Punkt B:

Graph verläuft durch B(4; 2), also

y=f (x=4)=2, a₄ 4⁴ a₃ 4^{3 1} 4 1 2

 +  −  + =4 , 256 a +₄ 64 a =₃ 2 Graph hat in B Hochpunkt, also

y=f (x =4)=0, ₄ ³ ₃ ² 1

4a 4 3a 4 0

 +  − =4 , _{4 3} 1 256 a 48 a

 +  = 4

Lineares Gleichungssystem, Lösung idealerweise mit Additionsverfahren:

4 3

256 a +64 a =2

4 3

256 a 48 a 1

 +  = 4 /  −( 1)

4 3

256 a +64 a =2

4 3

256 a 48 a 1

−  −  = −4

Addition liefert nun zunächst

3

16 a 7

 = 4, also ₃ 7 a =64

Einsetzen ₄ 7

256 a 64 2

 + 64= liefert dann 256 a + =4 7 2 oder 256 a ₄ = −5, so dass

4

a 5

= −256

Und daher insgesamt:

4 3 2 4 3

4 3 2 1 0

5 7 1

f (x) a x a x a x a x a x x x 1

256 64 4

= + + + + = −  +  −  + (q. e. d)

2

Diverse Fragestellungen, die eine „Kurvendiskussion“ betreffen:

Berechnung benötigter Ableitungen:

4 3

5 7 1

f (x) x x x 1

256 64 4

= −  +  −  +

3 2

5 21 1

f (x) x x

64 64 4

 = −  +  − 15 2 21

f (x) x x

64 32

 = −  + 

15 21

f (x) x

32 32

 = −  +

2a

Koordinaten der tiefsten Stelle des Sees:

Kommentar: Leider ist mir die Aufgabenstellung hier etwas „ungünstig“ geraten, da die Lage des Tiefpunkts mühelos geraten werden kann. Dann entfällt die hier

vorgestellte Rechnung.

Im Grunde war es jedoch anders gedacht: Ohne raten zu müssen, kann man eine Lösung der Gleichung

f (x) =0

direkt aus der Aufgabenstellung erschließen, denn es ist bekannt, dass sich an der Stelle x=4 ein Hochpunkt befindet. Dann ist x₁=4 eine Lösung der Gleichung, so dass man mit einer Polynomdivision weiterkommt bzw. weiterkäme, wenn der Tiefpunkt nicht sowieso so einfach zu erraten wäre.

3 2

5 21 1

x x 0

64 64 4

−  +  − = /  −( 64) um Brüche zu vermeiden

3 2

5 x − 21 x +16=0 Polynomdivision durch

3 2 2

(5 x − 21 x +0 x +16) : (x 4)− = 5 x −x−4 Dann weiter mit

5 x 2− − =x 4 0, ² 1 4

x x 0

5 5

−  − = , _2,3 1 1 4 1 1 80 x =10 100+ =5 10 100+100

2,3

1 81 1 9

x =10 100 =1010

2

1 9

x 1

10 10

= + = , ₃ 1 9 8

x =10−10 = −10 ist irrelevant.

Nachweis Tiefpunkt:

2 0

1 15 1 21 27

f (x )

64 1

32 64

 = = −  +  =  und daher tatsächlich Tiefpunkt

Weiter ist der dazugehörige y-Wert

4 3

1 1 5 1 7 1 1 215 4

y f (x ) 1 0,8398

256 64 4 1 56

= = = −  +  −  + = 2 

Die tiefste Stelle des Sees liegt also bei 215

(1, 0 | 0,83984)

256 .

Der See ist damit 41

256 0,16 bzw. 160 m tief.

2b

Koordinaten der steilsten Stelle und Steigungswinkel:

Steilste Stelle ist Ort maximaler Steigung, also Maximum der Steigung, damit Maximum der ersten Ableitung, also Wendepunkt:

15 2 21

f (x) 0 x x

64 32

 = = −  + 

Ausklammern liefert

15 21

0 x ( x )

64 32

=  −  + mit trivialer Lösung x₁=0

Weiter mit

15 21

x 0

64 32

−  + = , 15 21

64 =x 32, ₂ 21 64 x =32 15

2

x 14 2,8

= 5 =

Nachweis Wendepunkt:

15 21 21

f (x ) 0

2,8 , 2

3 2 3

2 8

3 2

 = = −  + = −  , also liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor.

Weiter ist der dazugehörige y-Wert

4 3

2

5 7 1

y f (x 2,8) 2,8 2, 1 1,5005

256 64 8 4 2,8

= = = −  +  −  + = .

Die dazugehörige Steigung folgt durch Einsetzen in die 1. Ableitung:

3 2

5 21 1 243

f (x ) 0, 6075

64 64 4

2, ,

8 2 8 2,8 4

 = = −  +  − = 00=

Daraus folgt der Steigungswinkel gegenüber der Horizontalen:

( 1)

max tan ⁻ (0, 6075) 31,3

 =  

Der Ort der größten Steigung des Geländes liegt also bei (2,8 |1,5005) . Dort beträgt die Steigung _max =31,3 gegenüber der Horizontalen.

3

Berechnung des Volumens des abzutragenden Erdreichs:

Gleichung der Geraden zwischen A und B kann quasi abgelesen werden:

y g(x) 1 x 1

= =  +4

Schnittpunkt der Graphen von f (x) und g(x) wie immer durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen:

f (x)=g(x)

4 3

5 7 1 1

x x x 1 x 1

256 64 4 4

−  +  −  + =  +

4 3

5 7 1

x x x 0

256 64 2

−  +  −  = /  −( 256) um Brüche zu vermeiden

4 3

5 x −  +28 x 128 x =0 Ausklammern liefert

3 2

x (5 x  − 28 x +128)=0 mit trivialer Lösung x₁ =0 (irrelevant) Es bleibt ein „Fall für die Polynomdivison“:

3 2

5 x − 28 x +128=0

Da sich die Graphen auch in B schneiden, muss man nicht raten, sondern weiß, dass x2 =4 Lösung dieser Gleichung muss. (Machen Sie die Probe durch Einsetzen!)

Dann folgt

3 2 2

(5 x − 28 x +0 x +128) : (x 4)− = 5 x −  −8 x 32

und weiter mit der (nun nur noch) quadratischen Gleichung 5 x 2−  −8 x 32=0, ² 8 32

x x 0

5 5

−  − = , _3,4 4 16 32 4 16 160 x = 5 25+ 5 = 5 25+ 25

3,4

4 176 4 176 4 176

x 5 25 5 5 5

=  =  = 

3

4 176

x 1,8533

5

= −  − , irrelevant, außerhalb des interessierenden Bereichs

4

4 176

x 3, 4533

5

= +  , x-Koordinate des interessierenden Schnittpunkts

Querschnittsfläche A des abzutragenden Bereichs:

4

4

x

A=



4 3

5 7 1 1 )

f (x) g(x) x x x 1 x 1

256 6 (4

4 4

= −  +  −  +  +

− −

4 3

5 7 1

f (x) g(x) x x x 1

256 64 4

= −  +  −  +

− 1

4 x 1

−  − 5 ⁴ 7 ³ 1

x x x

256 64 2

= −  +  − 

4 4

4 4

4 3

x x

5 7 1

A {f (x) g(x)} dx { x x x} dx

256 64 2

=





4 4

2

4 4

5 4 2

4 1 4

x x 76

5

5

5 7 1 1 7 1

A x x x

256 64 2 256 25

1 1 1

x x x

5 4 2 6 4 ₌ ⁺

   

= −  +  −   = −  +  −  

A= −1−(−1, 011068462)= − +1 1, 011068462=0, 011068462 (FE)

1 FE=1 LE 1 LE , 1 LE1000 m und daher 1 FE1000 m 1000 m 10 m = ^{6 2}

2

2 6 m 2

A (in m ) 0, 011068462 FE 10 11068,5 m

=  FE =

3 2 3

V (in m ) 11068,5 m 8000 m=  =88.548.000 m