Lösungsvorschlag Blatt 9 (beispielhaft für Situation b) 1

Lösungsvorschlag Blatt 9 (beispielhaft für Situation b)

1

Aufstellung der Zielfunktion:

V(a, b)=4a b2

Fläche A: 2 blaue Flächen (je 4a²

)

)

)

2 2

4 4ab

A=24a +2ab+ =8a +6ab 19= ,4

Das ist die Nebenbedingung, mit deren Hilfe b aus V(a, b)=4a b² eliminiert werden kann. Umstellen nach b

6ab 19, 44 8a= − 2

liefert

19, 44 8a2

b 6a

= − .

Einsetzen und Vereinfachen liefert die Zielfunktion V(a):

2

V(a)=4a2 =b 4a 19, 44 8a² 6a

 − 2 2

V(a) a (19, 44 8a )

= 3  −

16 3

V(a) 12,96 a a

=  − 3 

Ermittlung der Maximalstelle bzw. des „Hochpunkts“:

allgemein: y=f (x) =0

V (a) 12,96 16 a = −  2 =0

2 12,96

a 0,81

= 16 =

a= 0,81=0,9 (m)

Verifizierung des Maximums durch Einsetzen in die 2. Ableitung:

V (a) = − 32 a

V (a =0,9)= − 32 0,9= −28,80 und daher Maximum bzw. „Hochpunkt“

2

Seitenlänge b:

Setzen Sie a=0,9 (m) einfach in die für b schon ermittelte Gleichung ein:

2 2

19, 44 8a 19, 44 8 0,9

b 2, 4 (m)

6a 6 0,9

− − 

= = =



3

Verhältnis a/b:

a 0, 9

b =2, 4 oder a 3 b =8

4

Maximales Volumen:

2 3

V(0,9 m; 2, 4 m)= 4 (0,9 m) 2, 4 m =7, 776 m

Z

Zusatzfragen:

1. Wie groß sind b und V, wenn willkürlich a=0,6 m gewählt wird?

a=0, 6 (m)

2 2

19, 44 8a 19, 44 8

b 0, 6 4, 6 (m)

0, 6

6a 6

− − 

= = =

 a 0, 6

b =4, 6 oder ^{a 3} b = 23

2 3

V(0, 6 m; 4, 6 m)= 4 (0, 6 m) 4, 6 m =6, 624 m

Dies könne Sie auch mit anderen Werten für a ausprobieren. Das sich ergebende Volumen sollte immer kleiner sein als V=7, 776 m³

.

2. Wie groß darf a höchstens sein?

19, 44 8a2

b 0

6a

= − 

19, 44 8a− 2 0 19, 448a2

19, 44 2

2, 43 a

8 = 

a 2, 43= 9 315,58 (cm)