Lösungsvorschlag Blatt 8 1.1

Lösungsvorschlag Blatt 8

1.1

1.1 Geradengleichung y=g(x) für Straße g:

y=g(x)=  +m x b

Nordöstliche Richtung bedeutet m=1, b=2 kann als Schnittpunkt mit der y-Achse direkt abgelesen werden, also:

y=g(x)= +x 2

1.2

1.2 Berechnung der Koeffizienten von y=f(x) für Straße f:

Ansatzfunktion:

3 2

3 2 1 0

y=f (x)=a x +a x +a x+a

Ableitungen:

2

3 2 1

y=f (x) =3a x +2a x+a

3 2

y=f (x) =6a x+2a

Einarbeitung der Bedingungen in Punkt A:

Graph verläuft durch A(0; 2), also

y=f (x=0)=2, a₃0³ + a₂0² + a 0₁ +a₀ =2, a₀ =2

Kein Knick heißt: gleiche Tangentensteigung (1. Ableitung) wie g(x), also y=f (x =0)=1, 3a₃0² + 2a₂0 + =a₁ 1, a₁ =1

Ansatzfunktion Zwischenbilanz:

3 2

3 2

y=f (x)=a x +a x + +x 2

2

3 2

y=f (x) =3a x +2a x 1+

3 2

y=f (x) =6a x+2a

Einarbeitung der Bedingungen in Punkt B:

Graph verläuft durch B(4; 1), also

y=f (x=4) 1= , a₃ +  + + =4³ a₂ 4² 4 2 1, 64 a + ₃ 16 a₂ = −5

Graph geht in B von Rechts- in Linkskurve über, dort somit Wendepunkt, also y=f (x =4)=0

,

Lineares Gleichungssystem, Lösung idealerweise mit Additionsverfahren:

3 2

64 a + 16 a = −5

24 a + 2 a =0 /  −( 8)

3 2

64 a + 16 a = −5

3 2

192 a 16 a 0

−  −  =

Addition liefert nun zunächst

128 a3 5

−  = − , also ₃ 5 a =128

Einsetzen in 64 a + ₃ 16 a₂ = −5 liefert dann

2

64 5 16 a 5

128+  = − oder ⁵ 16 a₂ 5

2+  = − oder 16 a₂ 5 ^{5 15}

2 2

 = − − = − , so dass

2

a 15

= −32

Und daher insgesamt:

3 2 3 2

3 2 1 0

5 15

f (x) a x a x a x a x x x 2

128 32

= + + + =  −  + + (Übereinstimmung!)

Nun werden zur weiteren Verwendung die ersten beiden Ableitungen berechnet:

15 2 15

f (x) x x 1

128 16

 =  −  +

15 15

f (x) x

64 16

 =  −

1.3

1.3 Geradengleichung y=h(x) für Straße h:

y=h(x)=  +m x b

„Ohne Knick“ in B bedeutet, dass m identisch sein muss mit der Tangentensteigung von f(x) in diesem Punkt, es ist also

15 2 15 7

m f (x 4) 4 4 1

128 16 8

=  = =  −  + = −

Zwischenbilanz für h(x) nun also:

y h(x) 7 x b

= = −  +8

Der Graph von h(x) muss durch B(4; 1) verlaufen, so dass 1 h(x 4) 7 4 b

= = = −  +8 oder 1 ⁷ b

= − +2 oder 9

b= 2, also:

1.4

1.4 Koordinaten der Kreuzung K:

Schnittpunkt der Graphen von g(x) und h(x) durch Gleichsetzen: g(x)=h(x), also

7 9

x 2 x

8 2

+ = −  +

8 x 16 + = −  +7 x 36 oder 15 x =20, so dass

K

20 4

x =15 = 3 und _{K K} 4 4 10

y g(x x ) 2

3 3 3

= = = = + =

Damit haben wir endlich die gesuchte Lösung!

Der Kreuzungspunkt der Straßen g und h liegt bei _{K(x ; y )K K} =_{( ;}⁴₃ ¹⁰₃₎=(1, 3; 3, 3).

2

2 Berechnung der Fläche F (additiv):

Berechnung der Fläche zwischen g(x) und f(x)

3 2 3 2

5 15 5 15

g(x) f (x) x 2 ( x x x 2) x 2 x x x 2

128 32 128 32

− = + −  −  + + = + −  +  − −

3 2

5 15

g(x) f (x) x x

128 32

− = −  + 

K

K K

K

x x x

3 2 1 4 1 3

[0;x ] 4 3

0 0 0

5 15 5 15

F {g(x) f (x)}dx { x x }dx x x

128 32 128 32

 

=





K

K

x 4/3

4 3 4 4 4 3

[0;x ] 3 3

0

5 5 5 5 55

F x x ( ) ( ) FE

512 32 512 32 162

  =

= −  +   = −  +  =

Berechnung der Fläche zwischen h(x) und f(x)

3 2

7 9 5 15

h(x) f (x) x ( x x x 2)

8 2 128 32

− = −  + −  −  + +

3 2

5 15 15 5

h(x) f (x) x x x

128 32 8 2

− = −  +  −  +

K

K K

4 4

3 2

[x ;4]

x x

5 15 15 5

F {h(x) f (x)}dx { x x x }dx

128 32 8 2

=





K

K

4

4 3 2

1 1 1

[x ;4] 4 3 2

x

5 15 15 5

F x x x x

128 32 8 2

 

= −  +  −  +  

K

K

4

4 3 2

[x ;4]

x

4 3 2 4 4 4 3 4 2 4

3 3 3 3

5 5 15 5

F x x x x

512 32 16 2

5 5 15 5 5 5 15 5

4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( )

512 32 16 2 512 32 16 2

 

= −  +  −  +   =

 

= −  +  −  +  − −  +  −  +  

 

[x ;4]K

5 325 40

F FE

2 162 81

= − =

K K

[0;x ] [x ;4]

55 40 5

F F F FE FE FE

162 81 6

= + = + =

Berechnung der Fläche in m²:

1 FE 1 LE 1 LE=  100 m 100 m 10.000 m = 2

2 2 5 2 2

F (in m ) F (in FE) 10.000 m 10.000 m 8.333,33 m

=  = 6 =

(2)

(2) Alternativer Weg: Berechnung der Fläche F (subtraktiv):

Berechnung der Fläche zwischen f(x) und x-Achse:

4 4 4

3 2 1 4 1 3 1 2

f 4 3 2

0 0 0

5 15 5 15

F f (x)dx { x x x 2}dx x x x 2 x

128 32 128 32

 

=





4

4 3 2 4 3 2

f

0

5 5 1 5 5 1 17

F x x x 2 x 4 4 4 2 4 FE

512 32 2 512 32 2 2

 

=  −  +  +   =  −  +  +  = Polygonfläche aus Teilstücken:

3 1

y

4 2

1

x

2 3

40/21 FE

4/7 FE

g(x) h(x)

0

K(x^K=4/3; y^K=10/3)

20/7 4/3

8/7 20/7 FE

4 FE

Polygon

40 20 4 28

F FE FE FE 4 FE FE

21 7 7 3

= + + + =

28 17 5

F=F − =F FE− FE= FE

3

3 Koordinaten des nördlichsten Punkts der Straße f:

= Berechnung der Koordinaten des Hochpunkts im betrachteten Intervall:

f (x) =0

15 2 15

x x 1 0

128 −16 + =

 15

2 128

x 8 x 0

−  + 15 =

1 1,2

2

x 6, 7325

128 105

x 4 16 4 4

x 1, 2675

15 15

 =

=  − =  =  =

x1=6, 7325 ist irrelevant. Die gesuchte x-Koordinate ist

NP 2

x =x =1, 2675 (NP = Nördlichster Punkt)

NP NP

y =f (x =1, 2675)=2,594

NP

15 15

f (x 1, 2675) 1, 2675 0, 64 0

64 16

 = =  − = −  und daher Hochpunkt

Der nördlichste Punkt von f im betrachteten Streckenabschnitt hat die Koordinaten

NP NP

(x ; y )=(1, 2675; 2,594)