Lösungsvorschlag Blatt 2 1

Lösungsvorschlag Blatt 2

1

Rekonstruktion in beiden Fällen vorzugsweise über Produktansatz, Linearfaktoren, Vielfachheit der Nullstellen:

Funktion f(x):

y=f (x)=   −k x (x 5)

Bestimmung von k durch Einsetzen der Koordinaten von (4|2): k

4 4

2=f (x= )=   − = − k (4 5) 4

2 1

k= − = −4 2

Funktionsgleichung in Produktform:

y f (x) 1 x (x 5)

= = −   −2

1 2 5

y f (x) x x

2 2

= = −  +  (q. e. d.)

Funktion g(x):

y=g(x)=   +  −k x (x 2) (x 3)2

Bestimmung von k durch Einsetzen der Koordinaten von (4|2) :

2 k

2=g(x=4)=   +  −k 4 4( 2) (4 3) =24

2 1

k= 24=12

Funktionsgleichung in Produktform:

1 2

y g(x) x (x 2) (x 3)

= =12  +  − 1 2

y g(x) x (x 2) (x 6x 9)

= =12  +  − +

3 2 2

) 1 6

y g(x) x 1

1 (x x 9x 2x 18

2 + 2x −

= =   − + +

3 2

y g(x) 1 x ( 4x x 18)

1 x 3

= = 2  − − +

4 3 2

1 1 1 3

y g(x) x x x x

12 3 4 2

= =  −  −  +  (q. e. d.)

2

Flächenberechnungen durch Integration:

Gesamtfläche A:

5 5

5 5

2 3 2

ges

0 3

0

2

0 0

A 1 1

x x

3 2

1 5 1 5 1 5

f (x) dx ( x x) dx x x

2 2 2 2 6 4

   

=



 = − 



+   = −  +   = −  +  

5

3 2 3 2

ges

0

1 5 1 5

A x x 5 5 0

6 4 6 4

 

= −  +   = −  +  −

ges

A 125(FE)

= 12

Teilfläche A : ₁

4 1

0

A =



(f (x) g(x)) dx− 

2 4 3 2

1 5 1 1 1 3

f (x) g(x) x x ( x x x x)

2 2 12 3 4 2

− = −  +  −  −  −  + 

2 4 3 2

1 1 x

f (x) g( 1

x) x x

12

5 3

2 x 3 2

1 x x

2 4

− =−  +  −  +  +  − 

4 3 2

1 1 x

f (x) g(x) x

3 x

4 12

x −1

− +  

− =  +

4

4 3 2

1 0

1 1 1

A ( x x x x) dx

12 3 4

= −



 +  −  + 

5 4 3 2

4 1

0

1 1 1

A 1 1 1 1

x x x x

5 4 3

12 3 4 2

 

= −  +  −  + 

4

5 4 3 2

1

0

1 1 1 1

A x x x x

60 12 12 2

 

= −  +  −  +  

5 4 3 2

1 1 1 1 1 0

A 4 4 4 4

60 12 12 2

= −  +  −  +  −

1

A 104(FE)

= 15

Teilfläche A : ₂

3 2

0

A =



g(x) dx

3

4 3 2

2 0

1 1 1 3

A ( x x x x) dx

12 3 4 2

=



 −  −  +  

3

3

0

5 4 2

2

1 1 1 3

A 1 1 1 1

x x x x

4 5

2 4 3 2

1 3 2

 

=  −  −  +  

3

5 4 3 2

2

0

1 1 1 3

A x x x x

60 12 12 4

 

=  −  −  +  

5 4 3 2

2 1 1 1 3 0

A 3 3 3 3

60 12 12 4

=  −  −  +  −

2

A 9(FE)

=5

Teilfläche A : ₃

4 5

3

3 4

A =



g(x) dx +



f (x) dx oder A₃=A_3[3;4]+A_3[4;5] mit

4 3[3;4]

3

A =



g(x) dx ^{und 3[4;5] 5}

4

A =



f (x) dx

4

4 3 2

3[3;4]

3

1 1 1 3

A ( x x x x) dx

12 3 4 2

=



 −  −  +  

4

4 3[3;4]

3

5 3 2

1 1 1 3

A 12 3 4 2

1 1 1 1

x x x x

5 4 3 2

 

=  −  −  +  

4

5 4 3 2

3[3;4]

3

1 1 1 3

A x x x x

60 12 12 4

 

=  −  −  +  

4

5 4 3 2

3[3;

5 3 2

4]

1 1 1 3 9

( 3 3 3 3 )

60 12 12 4 5

1 1 1 3 12

A 4 4 4 4

60 12 12 +4 −  −  −  5

=  −  −    + = −

3[3;4]

A 3

=5

5 5

5 5

2 3 2

3[4;5]

4 4

3 2

4 4

1 5 1 5 1 5

A d 1 1

x x

3 2

f (x) x ( x x) dx x x

2 2 2 2 6 4

   

=



 = − 



+   = −  +   = −  +  

4

3 2

5

3 2 3 2

3[4;5]

3

1 5 1 5 125

A 5 1 5 28

( 4 4 )

6 4

x x 5

6 4 6 4 12

 

= −  +   = −  +  − − +  = −

 



3[4;5]

A 13(FE)

=12

3 3[3;4] 3[4;5]

3 13 101

A A A (FE) (FE) (FE)

5 12 60

= + = + =

Mit ₁ 104

A (FE)

= 15 , ₂ 9

A (FE)

=5 , ₃ 101

A (FE)

= 60 und A_ges ¹²⁵(FE)

= 12

folgt nun der „Moment der Wahrheit“:

!!!!!

Juhuuu.. ges

1 2 3 .

104 9 101 125

A A A (FE) (FE) (FE) (FE)

15 5 60 12 = A

+ + = + + =

Ein großes Lob all denen, die hier bis zum Schluss durchgehalten haben!

3

Kurvendiskussion von f(x) („Kurzfassung“, nur das, was nicht offensichtlich ist):

1 2 5

y f (x) x x

2 2

= = −  +  5 !

y f (x) x 0

=  = − + =2 und daraus x_S ⁵

=2

2

S S

5 1 5 5 5 25

y f (x x ) ( ) ( ) 3,125

2 2 2 2 2 8

= = = = −  +  = =

Parabel hat Scheitelpunkt (hier „Hochpunkt“) bei

S S

(x | y ) ( |5 25) (2,5 | 3,125) 2 8

= =

4

Kurvendiskussion von g(x) (ebenfalls „Kurzfassung“):

4 3 2

1 1 1 3

y g(x) x x x x

12 3 4 2

= =  −  −  + 

3 2

1 1 3

y g (x) x x x

3 2 2

=  =  − −  +

2 1

y g (x) x 2 x

=  = −  −2

Nicht sichtbare Nullstelle (obwohl aus Text bekannt eine gute Übung):

4 3 2 3 2

1 1 1 3 1 1 1 3

y g(x) 0 x x x x x ( x x x )

12 3 4 2 12 3 4 2

= = =  −  −  +  =   −  −  +

Nach Ausklammern bereits sichtbare Nullstelle bei x₁=0. Es bleibt

3 2

1 1 1 3

x x x 0

12 − 3 −  + =4 2 und nach Multiplikation mit 12:

3 2

x − 4 x −  +3 x 18=0

Mit bekannter Nullstelle x₂ =3 erfolgt Polynomdivision durch (x 3)− :

3 2 2

(x − 4 x −  +3 x 18) : (x 3)− =x − −x 6 und aus x²− − =x 6 0

:

3,4

1 1 24 1 5 2

x 2 4 4 2 2 3

−

=  + =  = 



Extrempunkte:

3 2

1 1 3

y g (x) 0 x x x

3 2 2

=  = =  − −  + und nach Multiplikation mit 6:

3 2

2 x − 6 x −  + =3 x 9 0

Mit bekannter doppelter Nullstelle x₂ =3 (waagerechte Tangente) erfolgt Polynomdivision durch (x 3)− :

3 2 2 2

(2 x − 6 x −  +3 x 9) : (x 3)− =2 x +0 x −3=2 x −3

und aus 2 x ²− =3 0 folgt x_1,2 ³ 1, 2247

=  2   (hier: Verzicht auf Nachweis) Mit den dazugehörigen y-Werten

mit TR

1 1

3 3 8 6

y g(x ) 1, 4122

2 16

= = − = − +  −

,

mit TR

2 2

3 3 8 6

y g(x ) 1, 0372

2 16

= = + = − + 

haben wir einen nicht sichtbaren Tiefpunkt bei (x | y )_{1 1} = −( 1, 2247 | 1, 4122)− und einen Hochpunkt bei (x | y )_{2 2} =(1, 2247 |1, 0372)

.

Wendepunkte:

2 1

y g (x) 0 x 2 x

=  = = −  −2

1,2

0, 2247

1 3

x 1 1 1

2, 2247

2 2

−

=  + =  = 



Mit den dazugehörigen y-Werten

mit TR

1 1

y g(x 1 3) 0,3457

= = − 2  −

,

mit TR

2 2

y g(x 1 3) 0, 4707

= = + 2 

haben wir Wendepunkte (hier wieder ohne Nachweis) bei

1 1

(x | y )= −( 0, 2247 | 0,3457)− und (x | y )_{2 2} =(2, 2247 | 0, 4707)

.

5

Vertikaler Abstand: Scheitelpunkt Parabel - Graph von g(x)

Parabel hat Scheitelpunkt (hier „Hochpunkt“) bei

S S

(x | y ) ( |5 25) (2,5 | 3,125) 2 8

= =

4 3 2

g(x)

5 1 5 1 5 1 5 3 5 15

y g(x ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 12 2 3 2 4 2 2 2 64

= = =  −  −  +  =

Abstand: y y_S y_g(x) ^{25 15 185} 2,890625

8 64 64

 = − = − = =