Lösungsvorschlag zu Übung 9

PCI Thermodynamik G. Jeschke SS 2010

Lösungsvorschlag zu Übung 9

(20. April 2010)

Aufgabe 1

Die benötigte Wärmemenge beträgt |q|=P ·t = 10·10³J ·s⁻¹·60s = 6·10⁵J·.

Bei der isothermen Kompression eines idealen Gases ist ∆u= 0 (T=const.) , so dass aus dem 1. Hauptsatz folgt q = −w. Das System gibt die Wärme ab, also ist q < 0 und w > 0. Die Arbeit ist Volumenarbeit dw=−pdV.

w= Z p2

p1

−p dV =− Z V2

V1

nRT

V dV =−nRT Z V2

V1

1

V dV =−nRT ·lnV2

V₁ Bei T =const. gilt ^V_V²

1 = ^p_p¹

2 .

⇒ w=−nRT ·lnp₁ p₂ =−q

⇒ n = q

RT ·ln^p_p¹

2

= −6·10⁵J

8,314J ·mol⁻¹·K⁻¹·326,15K·ln_13,5^1,7 = −6·10⁵J

−5618,97J·mol⁻¹ = 106,8mol Mit M = 102,03g·mol⁻¹ und m=n·M erhalten wirm = 10,9kg .

Aufgabe 2

Der Wirkungsgrad ist ε= 1−_T^Tk

w = _|q^|w|

w|.

Da die Wärmepumpe doppelt so viel elektrische Energie benötigt wie der Carnot-Prozess, ergibt sich w_el= 2· |q_w| ·ε .

Durch Division durch die Zeit erhalten wir die Leistung P_el = 2·P_w ·ε = 2·P_w · 1− _T^Tk

w

, wobei P_w der Heizleistung von 10kW entspricht undP_el die benötigte elektrische Leistung ist.

Mit T_w = 326,15K sowie T_k,1 = 283,15K und T_k,2 = 253,15K erhalten wir ε₁ = 0,132 und ε₂ = 0,224 .

⇒ P_el,1 = 2,64kW; P_el,2 = 4,48kW

Aufgabe 3

Wenn wir Kohle im Äquivalent von 10 kW Heizleistung verbrennen, erzeugen wir 3,4 kW elektische Leistung. Bei +10 ^◦C (P_el,1 = 2,64kW) und bei 0^◦C (Berechnung wie Aufgabe 2 => Pel,0^◦C = 3,26kW) bleibt somit eine Restleistung von 0,76kW bzw. 0,14kW übrig.

Die Wärmepumpe schneidet also besser ab. Bei −20^◦C ist der Betrieb unwirtschaftlich . Die mittleren Temperaturen am Zürisee in der Heizperiode liegen deutlich über 0^◦C, so dass die Wärmepumpe wirtschaftlich ist.

1

Aufgabe 4

Durch die Betrachtung des totalen Differential von g bei konstanter Stoffmenge ergibt sich:

(dg)n=−s dT +V dp (dg)_n= +

∂g

∂T

p

dT + ∂g

∂p

T

dp.

Daraus erkennen wir, dass s =− _∂T^∂g

p und V =

∂g

∂p

T

gilt.

Unter Zuhilfenahme des Schwarz’schen Satzes ∂²g

∂T ∂p

=

∂²g

∂p∂T

erhalten wir:

∂

∂p

T

∂g

∂T

p

= ∂

∂T

p

∂g

∂p

T

und damit

− ∂

∂p

T

s= ∂

∂T

p

v

∂s

∂p

T

=− ∂v

∂T

p

q.e.d.

Um nun die Maxwell’sche Relation _∂V^∂s

T = _∂T^∂p

v zu beweisen, können wir analog vorgehen, nur dass wir mit (df)_n =−s dT −p dV arbeiten. Dadurch erhalten wir:

(df)_n=−s dT −p dV (df)_n=

∂f

∂T

V

dT + ∂f

∂V

T

dV

und erkennen, dass s=− _∂T^∂f

V und p=− _∂V^∂g

T gilt.

Da auch hier der Schwarzsche Satz gilt, kommen wir zu:

∂²f

∂T ∂V

=

∂²f

∂V ∂T

erhalten wir:

∂

∂V

T

∂f

∂T

V

= ∂

∂T

V

∂f

∂V

T

und damit

− ∂

∂V

T

s=− ∂

∂T

V

p

∂s

∂V

T

= ∂p

∂T

V

q.e.d.

2