Einführung in die Mathematische Statistik für WInf, LaB, CE
Übung 4, Lösungsvorschlag
Gruppenübung
G 10 χ2-, t- und F-Verteilung
a) Es sei X eine χ2r-verteilte Zufallsvariable.
(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X ≥15.31) bei r= 28 Freiheitsgraden.
P(X ≥15.31) = 1−P(X ≤ 15.31
| {z }
≈χ228; 0.025
) ≈ 1−0.025 = 0.975
(ii) Bestimmen Sie für r= 550 näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X ≤610).
P(X ≤160) ≈ Φ
610−550
√1100
≈ Φ (1.81) = 0.9649 b) Es sei X eine tr-verteilte Zufallsvariable.
(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X ≥2.18) bei r= 12 Freiheitsgraden.
P(X ≥2.18) = 1−P(X ≤ 2.18
≈t|{z}12; 0.975
) ≈ 1−0.975 = 0.025
(ii) Bestimmen Sie für r= 45 näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X ≤1.6).
P(X ≤1.6) ≈ Φ(1.6) = 0.9452 c) Es sei X eine Fr,s-verteilte Zufallsvariable.
(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 2.54) bei r = 10 und s = 15 Frei- heitsgraden.
P(X ≤ 2.54
≈F10,15 ; 0.95|{z}
) ≈ 0.95
(ii) Bestimmen Sie eine Schranke c so, dass bei r = 11 und s = 15 Freiheitsgraden P(X ≤c) = 0.01 gilt.
Wegen P(X ≤c) = 0.01gilt
c = F11,15 ; 0.01 = 1 F15,11 ; 0.99
= 1
4.2506 = 0.2353
Einführung in die Mathematische Statistik, Übung 4, Lösungsvorschlag 2 G 11 Binomialverteilung und Grenzwertsätze
Zur Untersuchung von Wählerwanderungen befragte ein Meinungsforschungsinstitut 900 zufällig ausgewählte wahlberechtigte Bürger Hessens nach ihrer letzten Landtagswahl- entscheidung. Für die Partei A haben bei der Wahl nur 0.5% der hessischen Wähler gestimmt.
SeiX die Zufallsvariable, die die Anzahl der Wähler der ParteiAunter den 900 Befragten angibt. Unter der Annahme der Unabhängigkeit gilt:
X ∼B(900 ; 0.005).
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 900 befragten Bürgern höch- stens einer die ParteiA gewählt hat
a) mit Hilfe der Binomialverteilung,
P(X ≤1) = P(X = 0) +P(X = 1)
=
900 0
·0.0050·0.995900+ 900
1
·0.0051·0.995899
= 0.0110 + 0.0497 = 0.0607 b) durch Anwendung des Poissonschen Grenzwertwatzes,
Die Zufallsvariable X ist näherungsweise Poisson-verteilt mit dem Parameter λ = n·p = 900·0.005 = 4.5. Man erhält
P(X ≤1) = P(X = 0) +P(X = 1)
≈ 4.50
0! e−4.5 +4.51 1! e−4.5
= 0.0111 + 0.0500 = 0.0611
c) durch Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes sowohl mit als auch ohne Stetig- keitskorrektur.
mit Stetigkeitskorrektur:
P(X ≤1) = P(0≤X ≤1)
≈ Φ 1 + 0.5−np pnp(1−p)
!
−Φ 0−0.5−np pnp(1−p)
!
= Φ
1 + 0.5−4.5
√4.4775
−Φ
0−0.5−4.5
√4.4775
= Φ(−1.42)−Φ(−2.36) = 1−Φ(1.42)−(1−Φ(2.36))
= 0.991−0.922 = 0.069
Einführung in die Mathematische Statistik, Übung 4, Lösungsvorschlag 3 oder alternativ (mit Stetigkeitskorrektur)
P(X ≤1) ≈ Φ 1 + 0.5−np pnp(1−p)
!
= Φ
1 + 0.5−4.5
√4.4775
= Φ(−1.42) = 1−Φ(1.42) = 1−0.922 = 0.078 ohne Stetigkeitskorrektur:
P(X ≤1) ≈ Φ 1−np pnp(1−p)
!
= Φ
1−4.5
√4.4775
= Φ(−1.65) = 1−Φ(1.65) = 1−0.951 = 0.049 G 12 Ungleichung von Tschebysche, Zentraler Grenzwertsatz
In einer belgischen Schokoladenfabrik werden Pralinen hergestellt, deren Durchmesser einen Sollwert von 25 mm besitzen. Damit die Pralinen in die vorgefertigten Pralinen- schachteln passen, muss überprüft werden, ob der Sollwert hinreichend genau eingehalten wird. Zu diesem Zweck sollen die Durchmesser einer bestimmten Anzahl von Pralinen nachgemessen werden. Aus Erfahrung weiÿ man, dass die Durchmesser der Pralinen als Realisierung unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen mit der Varianz 4 [mm2] beschrieben werden können. Wieviele Messungen sind durchzuführen, damit die Dierenz zwischen dem Erwartungswert und dem arithmetischen Mittel der Messwerte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 kleiner als 0.5 mm ist?
Die ZufallsvariableXi beschreibe den Durchmesser deri-ten Praline. Bein ∈NMessun- gen haben wir also die ZufallsvariablenX1, X2, . . . , Xnmit E(Xi) = µund V ar(Xi) = 4. Da Unabhängigkeit vorausgesetzt wurde, gelten
E X¯(n)
=µ und V ar X¯(n)
= 4 n. Gesucht ist nun die Anzahln so, dass
P
X¯(n)−µ
<0.5
≥ 0.99.
a) Bestimmen Sie durch Anwendung der Tschebyscheschen Ungleichung eine untere Schranke für die gesuchte Anzahl.
Tschebyschesche Ungleichung:
P
X¯(n)−µ
<0.5
≥ 1− V ar X¯(n) 0.52
Einführung in die Mathematische Statistik, Übung 4, Lösungsvorschlag 4 Wir fordern also
1−V ar X¯(n)
0.52 ≥ 0.99
⇔ V ar X¯(n)
0.52 ≤ 0.01
⇔ 4
n =V ar X¯(n)
≤ 0.0025
⇔ n ≥ 4
0.0025 = 1600
b) Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes einen Näherungswert für die gesuchte Anzahl.
P
X¯(n)−µ
<0.5
= P(−0.5≤X¯(n)−µ≤0.5)
= P
−0.5 q4
n
≤
1
n(X1+· · ·Xn)−nµ) q4
n
≤ 0.5 q4 n
= P
−
√n 4 ≤
1
n(X1+· · ·Xn)−nµ) 2√
n ≤
√n 4
ZGW S
≈ Φ √
n 4
−Φ
−
√n 4
= 2Φ √
n 4
−1 ≥! 0.99 Es gilt auÿerdem
2Φ √
n 4
−1 ≥ 0.99
⇔
√n
4 ≥ u0.995 = 2.58
⇔ √
n ≥ 10.32 ⇔ n ≥106.5.
Also müssen (nach dem zentralen Grenzwertsatz) mindestens 107 Messungen durch- geführt werden, damit die Dierenz zwischen dem Erwartungswert und dem arith- metischen Mittel der Messwerte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 kleiner als 0.5 mm ist.
