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Lösungsvorschlag zu Aufgabe 4
12.III
Aufgabe: In einer Ausstellung sind zehn von zwölf Gemälden Originale. Ein Besucher wählt ein Bild (zufällig aus). Entscheidet der Experte, dass das Bild eine Fälschung ist, gibt der Besucher das Bild zurück und wählt ein anderes und kauft dies (ohne den Experten ein zweites Mal zu fragen). Der Experte gibt im Mittel bei neun von zehn Gemälden ein korrektes Urteil ab, ob das beurteilende Bild ein Original oder eine Fälschung ist. Die Korrektheit der Auskunft hänge nicht davon ab, ob das Bild tats¨schlich ein Original oder eine Fälschung ist.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Besucher ein Original, legt es auf Rat des Experten (fälschlicherweise) beiseite und wählt anschliessend (und kauft) eine Fälschung?
b) Der Kunde kauft eine Fälschung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es nicht das erste Bild, das er ausgesucht hat?
Lösungsvorschlag:
Wir definieren uns zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum:
Ω :={O, F}3 ={ω = (ω1, ω2, ω3)|ωi ∈ {O, F}}
Hierbei bezeichnet ω1 den ersten Zug, also die erste Wahl eines Gemäldes (O =b Original, F =b Fälschung),ω2 die Beurteilung des Experten undω3 den zweiten Zug, also die zweite Wahl eines Gemäldes.
In der Aufgabe sind folgende Wahrscheinlichkeiten ersichtlich:
P(ω1=O) = 1012 = 56 P(ω2=O|ω1 =O) = 0,9 P(ω2=O|ω1 =F) = 0,1 P(ω3=O|ω1 =O, ω2 =O) = 1 P(ω3=O|ω1 =F, ω2=O) = 0 P(ω3=O|ω1 =O, ω2 =F) = 119 P(ω3=O|ω1 =F, ω2=F) = 1011
Sommersemester 2013 Vertiefung NWI: Wahrscheinlichkeitstheorie
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a)
P(ω= (O, F, F))
=P(ω1=O, ω2=F, ω3=F)
=P(ω1=O)·P(ω2 =F|ω1 =O)·P(ω3=F|ω1=O, ω2=F)
=P(ω1=O)·(1−P(ω2 =O|ω1 =O))·(1−P(ω3=O|ω1 =O, ω2 =F))
= 5
6 ·(1−0,9)·(1− 9
11) = 1 66 b)
P(ω2 =F,|ω3 =F)
= P((ω = (O, F, F), ω = (F, F, F))
P(ω= (O, O, F), ω= (F, O, F)ω= (O, F, F)ω = (F, F, F))
=
10
12 ·0,1· 112 + 122 ·0,9·111
10
12·0,9·0 + 122 ·0,1·1 + 1012 ·0,1· 112 + 122 ·0,9· 111
= 19 30
Vertiefung NWI: Wahrscheinlichkeitstheorie Sommersemester 2013
