Lösungsvorschlag Übung 6

(1)

PCI Thermodynamik G. Jeschke FS 2012

Lösungsvorschlag Übung 6

23.03.2012

Ausgabe : Freitag, 23.03.2012 Rückgabe : Freitag, 30.03.2012

Besprechung : Fr/Mo/Di/, 30.03/02.04./03.04.2012 Verantwortlich : Carolin Seuring

1 Adiabatische und isotherme Expansion

(6 Punkte) Aus der Herleitung der adiabatischen Expansion im Skript, Kapitel 6.5.4 können wir zwei Aussagen über die isotherme und adiabatische Volumenarbeit machen. Während für die isotherme Volumenarbeit das Boyle-Mariotte'sche Gesetz gilt :

p·V =const., (1)

muss für die adiabatische Volumenarbeit die Poisson-Gleichung angewendet werden :

p·V^γ =const. (2)

Adiabatische Expansion

1a i) Der Zusammenhang zwischen p0, V0, pf inal, Vf inal lässt sich wie folgt berechnen :

p₀·V₀^γ =p_{f inal}·V_{f inal}^γ. (3)

Stellen wir nun die Gleichung nach Vf inal um, erhalten wir : p₀·V₀^γ

p_{f inal} =V_{f inal}^γ. (4)

(2)

Weil weiterhin gilt, dass Cv = ³₂ ·R, Cp = ⁵₂ ·R, ist γ = ^C_C^p_v = ⁵₃ und damit folgt : p₀·V₀⁵³

p_{f inal} =Vf inal

5

3 (5)

p₀·V₀⁵³

p_{f inal} =V_{f inal}⁵³ (6)

5 bar·(1l)⁵³

1 bar =V_{f inal}⁵³

2.63 l=Vf inal. (7)

ii) Die Temperatur des Gases am Ende der adiabatischen Expansion Tf inalerhält man mit V0 = 1l und Vf inal = 2.63 l aus :

T₀·V₀^γ−1 =T_{f inal}·V_{f inal}^γ−1 (8)

T0·V₀^γ−1

V_{f inal}^γ−1 =T_{f inal} (9)

298.15K·(1·10⁻³ m³)⁵³⁻¹

(2.63 ·10⁻³ m³)⁵³⁻¹ =Tf inal (10)

156 K=−117^◦C=T_{f inal}. (11)

iii) Die Arbeit wird allein durch die Abnahme der inneren Energie bestritten, denn im adiabatischen Prozess gilt q = 0 und damit :

∆u=q+w (12)

∆u=w. (13)

iv) Die ausgetauschte Arbeit berechnet sich aus :

∆u=w=n·C_v ·∆T (14) w=n·C_v

Z Tf inal

T0

dT (15)

w=n·C_v·(T_{f inal}−T₀) (16)

w=n·3

2 ·R·(156 K−298.15 K) (17) Die Stomenge n ergibt sich aus :

n= p₀·V₀

R·T (18)

n= 5·10⁵ Pa·0.001 m³

8.314_mol·K^J ·298.15K (19)

n = 0.2 mol. (20)

(3)

Setzen wir den Wert n = 0.2 mol in Gl. (17) ein, lässt sich die Arbeit berechnen : w=n·3

2 ·R·(156 K−298.15 K) (21) w=−355.70J.

v) Aus der gleichen Beziehung, die wir nutzten um Vf inal zu berechnen, können wir pf inal berechnen, wenn das Endvolumen Vf inal = 8 l ist:

p₀·V

5 3

0

V

5 3

f inal

=p_{f inal} (22)

p₀·V₀⁵³ (8 l)⁵³

=p_{f inal} (23)

0.156 bar =p_{f inal}. (24) Die Temperatur des Gases am Ende der adiabatischen Expansion Tf inalerhält man mit V0 = 1 l und Vf inal = 8 l aus :

298.15·1·(10⁻³ m³)⁵³⁻¹

(8 ·10⁻³ m³)⁵³⁻¹ =T_{f inal} (25)

74.5K =−198^◦C=T_{f inal}. (26)

Die ausgetauschte Arbeit ergibt sich wiederum aus : w=n·C_v

Z Tf inal

T0

dT (27)

w=n· 3

2 ·R·(74.5 K−298.15K) (28) w=−557.82 J.

b Isotherme Expansion

i) Der Zusammenhang zwischen p0, V0, pf inal, Vf inal lässt sich wie folgt berechnen :

p₀·V₀ =p_{f inal}·V_{f inal}. (29)

Stellen wir nun die Gleichung nach Vf inal um, erhalten wir : p₀·V₀

p_{f inal} =Vf inal. (30)

5 l=V . (31)

(4)

ii) Die Temperatur des Gases am Ende der isothermen Expansion Tf inal ist gleich der Anfangstemperatur und damit 25^◦C.

iii) Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab und ist im isothermen Prozess ∆u= 0.

iv) Die ausgetauschte Arbeit berechnet sich aus :

dw=−p·dV (32)

w=− Z

p·dV (33)

w=n·R·T lnV_{f inal}

V₀ =−p₀V₀·lnV_{f inal}

V₀ . (34)

Wir nutzen nun die folgende Beziehung und berechnen w : w=−p₀V₀·lnVf inal

V₀ (35)

w=−5·1·ln5 l

1 l (36)

w=−8.05 bar·l=−8.05·10⁵ Pa·10⁻³ m³ (37)

w=−805 J. (38)

v) Aus der gleichen Beziehung mit der wir Vf inal berechnet haben, können wir pf inal

berechnen, wenn das nale Volumen Vf inal = 8 l ist:

p₀·V₀

V_{f inal} =pf inal (39)

0.625 bar =p_{f inal}. (40) Die Arbeit berechnen wir dann wiederum mit :

w=−p₀V₀ ·lnV_{f inal}

V₀ (41)

w=−5·1·ln8 l

1 l (42)

w=−10.40 bar·l=−10.40·10⁵ Pa·10⁻³ m³ (43)

w=−1040 J. (44)

c Graphische Darstellung der Adiabaten und Isothermen

(5)

Abbildung 1: Dargestellt sind zwei p(V)-Diagramme die sich aus der Adiabatengleichung p·V^γ =const.bzw. Isothermengleichung p·V =const. ergeben. Die Adiabaten sind schwarz dargestellt, die Isothermen blau. Links : p(V)-Diagramm der Expansion von p0 = 5 bar auf pf inal = 1 bar. Rechts : p(V)-Diagramm der Expansion von p0 = 5 bar auf Vf inal = 8 l. Aus den Graphen lassen sich die gesuchten Parameter Vf inal (links) und pf inal (rechts) ermitteln.

2 Joule-Thompson Eekt

(4 Punkte) Für den dierentiellen Joule-Thomson Eekt gilt :

dT dp

h

= 1 C_p

2a RT −b

. (45)

Wir stellen die Gleichung zunächst nach dp um : dT

1 Cp

2a

RT −b =dp (46)

C_p·RT dT

2a−b·RT =dp.

Um eine Beziehung für die nicht unendlich kleine Änderungen zu bekommen, trennen wir die Variablen und integrieren von T₁ bis T₂, beziehungsweise von p₁ bis p₂. Die ganze Integration passiert bei isenthalpischen Bedingungen:

Z T2

T1

C_p·RT dT 2a−b·RT =

Z p2

p1

dp= ∆p. (47)

(6)

Um die linke Seite zu integrieren, ersetzen wir RT = x und ^2a_b = α und schreiben das Integral nach der neuen Variable xum:

Z T2

T1

C_p·RT dT 2a−b·RT =

Z RT2

RT1

C_p·x^dx_R

2a−bx = (48)

C_p Rb

Z RT2

RT1

xdx

2a

b −x = C_p Rb

Z RT2

RT1

xdx

α−x = (49)

C_p

Rb[−x−α·ln(α−x)]^RT_RT²

1 = (50)

−Cp

Rb

R(T₂−T₁) + 2a b ·ln

2a−b·RT2

2a−b·RT₁

. (51)

Als Resultat bekommen wir die Beziehung:

∆p=−Cp

Rb

R(T₂−T₁) + 2a b ·ln

2a−b·RT2

2a−b·RT₁

. (52)

3 Brenn- und Heizwert von Wodka

(4 Punkte) In der Tabelle sind die Werte für x_EtOH angegeben, die sich aus φ_EtOH mit Hilfe der Gleichung auf dem Frageblatt berechnen lassen :

x_EtOH = V_H2O

V_EtOH

φ_EtOH −V_EtOH+V_H2O. (53)

Zusammengefasst sind die φ_EtOH/x_EtOH-Wertepaare : φ_EtOH 0.95 0.70 0.50 0.1

x_EtOH 0.854 0.419 0.236 0.033.

Unter Betrachtung der Bilanzgleichung folgt mit den Standardbildungsenthalpien für die Verbrennungsenthalpie∆CH für Ethanol :

C2H5OH(l) + 3O2(g)→2CO2(g) + 3H2O(l)

∆_CH = 2∆fH_CO₂(g) + 3∆fH_H₂_O(l)−∆fH_EtOH(l) (54)

(7)

∆_CH =−(2·393.52 kJ

mol)−(3·285.83 kJ

mol) + (277.65 kJ

mol) = −1366.88 kJ

mol. (55) Die Verbrennungsenthalpie ist gleichzeitig auch der Brennwert von reinem Ethanol.

Den Heizwert ∆H_Heiz für die verschiedenen Mischungen erhält man aus :

∆H_Heiz =x_EtOH·(∆H_c+ 3·∆H_V,_H₂_O) + (1−x_EtOH)·∆H_V,_H₂_O. (56) Für die einzelnen Wodka mit x_EtOH ergeben sich folgende zugehörige Heizwerte :

φ_EtOH 0.95 0.70 0.50 0.1 x_EtOH 0.854 0.419 0.236 0.033

∆HHeiz

kJ·mol⁻¹ -1048.1 -491.8 -257.8 + 1.8.

Man sieht, dass ∆H_Heiz mit dem Wassergehalt abnimmt und bei 10 Volumenprozent das Vorzeichen wechselt. Ein positives Vorzeichen des Heizwerts zeigt, dass verdünnter Ethanol nicht verbrennbar ist, ausser wenn ihm genügend Energie zugeführt wird.