Universität Konstanz Christoph Hanselka Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Wintersemester 2014/2015
Einführung in die Algebra, Übungsblatt 6, Lösungsvorschlag
Aufgabe 3.Zeige: Ist A
[
X]
ein Hauptidealring, so istAein Körper.Lösungsvorschlag. Variante 1: Wir betrachten den Ringhomomorphismus, der durch Auswertung in 0 gegeben ist, genauer: Ψ: A
[
X] →
A mitΨ|
A=
idA und Ψ(
X) =
0 (siehe Korollar 2.2.8). Dieser ist offensichtlich surjektiv und nach dem Homomorphie- satz bekommen wir A[
X]
/ kerΨ∼ =
A. Da Aals Unterring eines Hauptidealringes ein Integritätsring ist, ist kerΨ nach Aufgabe 2(a) ein Primideal. Da X∈
kerΨ ist die- ses nicht das Nullideal. Da nach Vorraussetzung A[
X]
ein Hauptidealring ist und in Hauptidealringen alle von Null verschiedenen Primideale maximal sind, ist also kerΨ ein maximales Ideal und Anach Aufgabe 2(b) somit ein Körper.Variante 2:Seia
